题目
如果10阶方阵A的各行元素之和均为0,且R(A) =9,则线性方程组Ax=0的通解为_________
如果10阶方阵A的各行元素之和均为0,且R(A) =9,则线性方程组Ax=0的通解为_________
题目解答
答案
由题可得，根据所学知识分析，由于A的各行元素之和均为0， 所以
是AX=O的一个解
其次，由于A的秩为 9，所以AX=O的基础解系的维度是10-9=1
故是AX=O的基础解系
最后，根据基础解系的性质，即可得到AX=O的通解为
,其中k为任意常数
解析
步骤 1：确定方程组的解空间
由于A的各行元素之和均为0，所以向量$(1,1,\cdots ,1)^T$是方程组$Ax=0$的一个解。这意味着向量$(1,1,\cdots ,1)^T$在方程组$Ax=0$的解空间中。
步骤 2：确定解空间的维度
由于A的秩为9，根据秩-零化度定理，方程组$Ax=0$的解空间的维度为$10-9=1$。这意味着方程组$Ax=0$的解空间由一个向量生成。
步骤 3：确定通解
由于向量$(1,1,\cdots ,1)^T$是方程组$Ax=0$的解空间中的一个向量，且解空间的维度为1，所以向量$(1,1,\cdots ,1)^T$是方程组$Ax=0$的解空间的一个基。因此，方程组$Ax=0$的通解为$k(1,1,\cdots ,1)^T$，其中$k$为任意常数。
由于A的各行元素之和均为0，所以向量$(1,1,\cdots ,1)^T$是方程组$Ax=0$的一个解。这意味着向量$(1,1,\cdots ,1)^T$在方程组$Ax=0$的解空间中。
步骤 2：确定解空间的维度
由于A的秩为9，根据秩-零化度定理，方程组$Ax=0$的解空间的维度为$10-9=1$。这意味着方程组$Ax=0$的解空间由一个向量生成。
步骤 3：确定通解
由于向量$(1,1,\cdots ,1)^T$是方程组$Ax=0$的解空间中的一个向量，且解空间的维度为1，所以向量$(1,1,\cdots ,1)^T$是方程组$Ax=0$的解空间的一个基。因此，方程组$Ax=0$的通解为$k(1,1,\cdots ,1)^T$，其中$k$为任意常数。