题目
证明:当 lt xlt dfrac (pi )(2) 时, tan xgt x+dfrac (1)(3)(x)^3.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义函数
定义函数 $f(x)=\tan x-x-\dfrac {1}{3}{x}^{3}$ ,显然f(x)在 $[ 0,\dfrac {\pi }{2})$ 上连续的,且在 $(0,\dfrac {\pi }{2})$ 内可导, .f(0)=0 , $f''''=''{x}^{2}-1-{x}^{2}={x}^{2}x-{x}^{2}=\lim _{x\rightarrow 0}x-$ ,
步骤 2：证明 $f'(x)\gt 0$
要想证明 $f'(x)\gt 0$ ,只需证明在 $[ 0,\dfrac {\pi }{2})$ 上, $g(x)=\tan x-x\gt 0$ 即可.由于 $g(x)=\tan x-$ x在 $[ 0,\dfrac {\pi }{2})$ 上连续, g(0)=0 ,而在 $(0,\dfrac {\pi }{2})$ 内可导,且 .$g'(x)={\sec }^{2}x-1={\tan }^{2}x\gt 0$ ,
步骤 3：证明 $g(x)\gt 0$
所以g(x)在 $(0,\dfrac {\pi }{2})$ 内单调增加的,因此 $g(x)\gt g(0)=0$ ,所以 $f'(x)\gt 0$ ,故f(x)在 $(0,\dfrac {\pi }{2})$ 内单调增加的,有 $f(x)\gt f(0)=0$ ,即 $\tan x-x-\dfrac {1}{3}{x}^{3}\gt 0$ -
定义函数 $f(x)=\tan x-x-\dfrac {1}{3}{x}^{3}$ ,显然f(x)在 $[ 0,\dfrac {\pi }{2})$ 上连续的,且在 $(0,\dfrac {\pi }{2})$ 内可导, .f(0)=0 , $f''''=''{x}^{2}-1-{x}^{2}={x}^{2}x-{x}^{2}=\lim _{x\rightarrow 0}x-$ ,
步骤 2：证明 $f'(x)\gt 0$
要想证明 $f'(x)\gt 0$ ,只需证明在 $[ 0,\dfrac {\pi }{2})$ 上, $g(x)=\tan x-x\gt 0$ 即可.由于 $g(x)=\tan x-$ x在 $[ 0,\dfrac {\pi }{2})$ 上连续, g(0)=0 ,而在 $(0,\dfrac {\pi }{2})$ 内可导,且 .$g'(x)={\sec }^{2}x-1={\tan }^{2}x\gt 0$ ,
步骤 3：证明 $g(x)\gt 0$
所以g(x)在 $(0,\dfrac {\pi }{2})$ 内单调增加的,因此 $g(x)\gt g(0)=0$ ,所以 $f'(x)\gt 0$ ,故f(x)在 $(0,\dfrac {\pi }{2})$ 内单调增加的,有 $f(x)\gt f(0)=0$ ,即 $\tan x-x-\dfrac {1}{3}{x}^{3}\gt 0$ -