设S为曲面z=2-x^2-y^2(zgeq0)，D为x^2+y^2leq2，则积分iint_S dS=().A. int_(0)^2pi dtheta int_(0)^sqrt(2) sqrt(1+4r^2) r drB. int_(0)^2pi dtheta int_(0)^1 sqrt(1+4r^2) r drC. iint_(D) sqrt(4x^2+4y^2) dx dyD. int_(0)^2pi dtheta int_(0)^2 sqrt(1+4r^2) r dr

本题考查第一类曲面积分的计算，解题思路是先根据曲面方程求出$dS$的表达式，再将曲面积分转化为二重积分，最后利用极坐标计算二重积分。

1. 求$dS$的表达式：
   已知曲面$S$的方程为$z = 2 - x^2 - y^2$（$z\geq0$），对$z$分别求关于$x$和$y$的偏导数：
   • 对$x$求偏导数：$z_{x}=\frac{\partial z}{\partial x}=-2x$。
   • 对$y$求偏导数：$z_{y}=\frac{\partial z}{\partial y}=-2y$。
     根据第一类曲面积分中$dS$的计算公式$dS = \sqrt{1 + z_{x}^{2} + z_{y}^{2}}dxdy$，可得：
     $dS = \sqrt{1 + (-2x)^{2} + (-2y)^{2}}dxdy=\sqrt{1 + 4x^{2} + 4y^{2}}dxdy$。
2. 将曲面积分转化为二重积分：
   已知$\iint_S dS$，将$dS = \sqrt{1 + 4x^{2} + 4y^{2}}dxdy$代入可得：
   $\iint_S dS=\iint_{D} \sqrt{1 + 4x^{2} + 4y^{2}}dxdy$，其中$D$为$x^2 + y^2\leq 2$。
3. 利用极坐标计算二重积分：
   在极坐标下，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dxdy = rdr d\theta$。
   积分区域$D$：$x^2 + y^2\leq 2$在极坐标下表示为$0\leq r\leq\sqrt{2}$，$0\leq\theta\leq 2\pi$。
   将$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dxdy = rdr d\theta$代入$\iint_{D} \sqrt{1 + 4x^{2} + 4y^{2}}dxdy$可得：
   $\iint_{D} \sqrt{1 + 4x^{2} + 4y^{2}}dxdy=\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\sqrt{2}} \sqrt{1 + 4r^{2}} r dr$。