设函数 y=y(x) 由方程 ln ((x)^2+y)=(x)^3y+sin x 确定,求 dfrac (dy)(dx)(|)_(x=0).

考查要点：本题主要考查隐函数求导的方法，涉及复合函数求导法则和代数方程的解法。

解题核心思路：

1. 代入特殊值简化计算：先代入$x=0$求出对应的$y$值，简化后续求导过程。
2. 隐函数求导：对原方程两边关于$x$求导，注意将$y$视为$x$的函数，应用链式法则和乘积法则。
3. 解关于$\dfrac{dy}{dx}$的方程：整理求导后的方程，代入已知点$(0,1)$，解出$\dfrac{dy}{dx}\big|_{x=0}$。

破题关键点：

• 正确应用求导法则：特别注意$\ln(x^2 + y)$的导数形式和$x^3 y$的乘积导数。
• 代数化简：代入$x=0$后，方程中的高阶项（如$x^3$）会自动消失，简化计算。

步骤1：代入$x=0$求$y$值
将$x=0$代入原方程$\ln(x^2 + y) = x^3 y + \sin x$，得：
$\ln(0^2 + y) = 0^3 \cdot y + \sin 0 \implies \ln y = 0 \implies y = 1.$

步骤2：对原方程两边关于$x$求导
对左边$\ln(x^2 + y)$求导：
$\frac{d}{dx} \ln(x^2 + y) = \frac{1}{x^2 + y} \cdot (2x + \frac{dy}{dx}).$
对右边$x^3 y + \sin x$求导：
$\frac{d}{dx}(x^3 y) + \frac{d}{dx}(\sin x) = 3x^2 y + x^3 \frac{dy}{dx} + \cos x.$
整理得方程：
$\frac{1}{x^2 + y}(2x + \frac{dy}{dx}) = 3x^2 y + x^3 \frac{dy}{dx} + \cos x.$

步骤3：代入$x=0$和$y=1$
将$x=0$和$y=1$代入上述方程：
$\frac{1}{0^2 + 1}(2 \cdot 0 + \frac{dy}{dx}) = 3 \cdot 0^2 \cdot 1 + 0^3 \cdot \frac{dy}{dx} + \cos 0.$
化简得：
$\frac{dy}{dx} = 0 + 0 + 1 \implies \frac{dy}{dx}\bigg|_{x=0} = 1.$