题目
设函数 y=y(x) 由方程 ln ((x)^2+y)=(x)^3y+sin x 确定,求 dfrac (dy)(dx)(|)_(x=0).
题目解答
答案
解析
步骤 1：代入 x=0 求 y
将 x=0 代入方程 $\ln ({x}^{2}+y)={x}^{3}y+\sin x$，得到 $\ln y=0$，从而解得 y=1。
步骤 2：对原方程两边关于 x 求导
对原方程 $\ln ({x}^{2}+y)={x}^{3}y+\sin x$ 两边关于 x 求导，得到 $\dfrac {1}{{x}^{2}+y}(2x+\dfrac {dy}{dx})=3{x}^{2}y+{x}^{3}\dfrac {dy}{dx}+\cos x$。
步骤 3：代入 x=0 和 y=1 求 $\dfrac {dy}{dx}{|}_{x=0}$
将 x=0 和 y=1 代入步骤 2 的结果，得到 $\dfrac {1}{0+1}(0+\dfrac {dy}{dx})=0+0+\cos 0$，从而解得 $\dfrac {dy}{dx}{|}_{x=0}=1$。
将 x=0 代入方程 $\ln ({x}^{2}+y)={x}^{3}y+\sin x$，得到 $\ln y=0$，从而解得 y=1。
步骤 2：对原方程两边关于 x 求导
对原方程 $\ln ({x}^{2}+y)={x}^{3}y+\sin x$ 两边关于 x 求导，得到 $\dfrac {1}{{x}^{2}+y}(2x+\dfrac {dy}{dx})=3{x}^{2}y+{x}^{3}\dfrac {dy}{dx}+\cos x$。
步骤 3：代入 x=0 和 y=1 求 $\dfrac {dy}{dx}{|}_{x=0}$
将 x=0 和 y=1 代入步骤 2 的结果，得到 $\dfrac {1}{0+1}(0+\dfrac {dy}{dx})=0+0+\cos 0$，从而解得 $\dfrac {dy}{dx}{|}_{x=0}=1$。