下列函数何处可导？何处解析？(1) f(z) = xy^2 + ix^2 y;(3) f(z) = x^3 - 3xy^2 + i(3x^2 y - y^3);

我们来逐题分析函数的**可导性**和**解析性**。 --- ## 一、基础知识回顾： ### 1. 复变函数的可导性： 设 $ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) $，其中 $ z = x + iy $，则： - **可导的必要条件**（Cauchy-Riemann 条件）： $$ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} $$ 且偏导数在该点连续。 - **解析的定义**： 若函数在某个区域内处处可导，则称它在该区域内**解析**。 --- ## 二、题目分析 --- ### (1) $ f(z) = xy^2 + ix^2 y $ 我们设： - 实部 $ u(x, y) = xy^2 $ - 虚部 $ v(x, y) = x^2 y $ 计算偏导数： - $ u_x = y^2 $, $ u_y = 2xy $ - $ v_x = 2xy $, $ v_y = x^2 $ 检查 Cauchy-Riemann 条件： - $ u_x = v_y \Rightarrow y^2 = x^2 $ - $ u_y = -v_x \Rightarrow 2xy = -2xy \Rightarrow 4xy = 0 $ 所以满足 C-R 的条件是： $$ \begin{cases} y^2 = x^2 \\ xy = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = \pm x \\ xy = 0 \end{cases} \Rightarrow \text{只有在 } x = 0 \text{ 或 } y = 0 \text{ 时，才可能满足} $$ 进一步分析： - 若 $ x = 0 $，则 $ y^2 = 0 \Rightarrow y = 0 $，即点 $ (0, 0) $ - 若 $ y = 0 $，则 $ x^2 = 0 \Rightarrow x = 0 $，即点 $ (0, 0) $ 所以只有在 **原点 $ z = 0 $** 处满足 C-R 条件。 再检查偏导数是否连续：所有偏导数都是多项式，显然连续。 ### 结论（1）： - 函数在 **原点 $ z = 0 $** 处可导； - 在原点以外的点不满足 C-R 条件，不可导； - 因此，函数 **仅在 $ z = 0 $** 处可导，**在任何区域内都不解析**。 --- ### (3) $ f(z) = x^3 - 3xy^2 + i(3x^2 y - y^3) $ 我们设： - 实部 $ u(x, y) = x^3 - 3xy^2 $ - 虚部 $ v(x, y) = 3x^2 y - y^3 $ 计算偏导数： - $ u_x = 3x^2 - 3y^2 $, $ u_y = -6xy $ - $ v_x = 6xy $, $ v_y = 3x^2 - 3y^2 $ 检查 C-R 条件： - $ u_x = v_y \Rightarrow 3x^2 - 3y^2 = 3x^2 - 3y^2 $ ✅ - $ u_y = -v_x \Rightarrow -6xy = -6xy $ ✅ 所以 C-R 条件在**整个复平面上都成立**。 偏导数都是多项式，显然连续。 ### 结论（3）： - 函数在整个复平面上都满足 C-R 条件，且偏导数连续； - 所以函数在**整个复平面上处处可导**； - 也即函数在**整个复平面上解析**。 --- ## 三、最终答案总结： --- ### (1) $ f(z) = xy^2 + ix^2 y $ - **可导点**：仅在 $ z = 0 $ - **解析区域**：无（不解析） --- ### (3) $ f(z) = x^3 - 3xy^2 + i(3x^2 y - y^3) $ - **可导点**：整个复平面 - **解析区域**：整个复平面 --- **最终答案：** (1) 可导点为 $ \boxed{z = 0} $，不解析； (3) 在整个复平面上可导且解析，即解析区域为 $ \boxed{\mathbb{C}} $。