题目
12.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分:-|||-(3) (int )_(0)^1dx(int )_(1-x)^sqrt (1-{x^2)}f(x,y)dy;
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
在直角坐标系中，积分区域由 $x$ 从 $0$ 到 $1$，$y$ 从 $1-x$ 到 $\sqrt{1-x^2}$ 确定。这表示积分区域是一个在第一象限的区域，其边界由直线 $y=1-x$ 和圆 $x^2+y^2=1$ 的上半部分组成。
步骤 2：转换到极坐标系
在极坐标系中，$x=\rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$。直线 $y=1-x$ 可以转换为极坐标形式 $\rho\sin\theta=1-\rho\cos\theta$，即 $\rho=\frac{1}{\sin\theta+\cos\theta}$。圆 $x^2+y^2=1$ 在极坐标系中表示为 $\rho=1$。因此，积分区域在极坐标系中由 $\rho$ 从 $\frac{1}{\sin\theta+\cos\theta}$ 到 $1$，$\theta$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$ 确定。
步骤 3：转换积分
将直角坐标系中的积分转换为极坐标系中的积分，需要将 $f(x,y)$ 替换为 $f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)$，并乘以极坐标系下的雅可比行列式 $\rho$。因此，原积分可以写为：
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_{\frac{1}{\sin\theta+\cos\theta}}^{1}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho d\rho$$
在直角坐标系中，积分区域由 $x$ 从 $0$ 到 $1$，$y$ 从 $1-x$ 到 $\sqrt{1-x^2}$ 确定。这表示积分区域是一个在第一象限的区域，其边界由直线 $y=1-x$ 和圆 $x^2+y^2=1$ 的上半部分组成。
步骤 2：转换到极坐标系
在极坐标系中，$x=\rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$。直线 $y=1-x$ 可以转换为极坐标形式 $\rho\sin\theta=1-\rho\cos\theta$，即 $\rho=\frac{1}{\sin\theta+\cos\theta}$。圆 $x^2+y^2=1$ 在极坐标系中表示为 $\rho=1$。因此，积分区域在极坐标系中由 $\rho$ 从 $\frac{1}{\sin\theta+\cos\theta}$ 到 $1$，$\theta$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$ 确定。
步骤 3：转换积分
将直角坐标系中的积分转换为极坐标系中的积分，需要将 $f(x,y)$ 替换为 $f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)$，并乘以极坐标系下的雅可比行列式 $\rho$。因此，原积分可以写为：
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_{\frac{1}{\sin\theta+\cos\theta}}^{1}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho d\rho$$