用Laplace变换求解微分方程''-3y'+2y=6(e)^-t (0)=0, '(0)=0.

步骤 1：对微分方程两边取拉普拉斯变换
对微分方程 $y''-3y'+2y=6{e}^{-t}$ 两边取拉普拉斯变换。根据拉普拉斯变换的性质，有：
$$
\mathcal{L}[y''] = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)
$$
$$
\mathcal{L}[y'] = sY(s) - y(0)
$$
$$
\mathcal{L}[y] = Y(s)
$$
$$
\mathcal{L}[6e^{-t}] = \frac{6}{s+1}
$$
已知 $y(0)=0$ 和 $y'(0)=0$，则原方程变为：
$$
s^2Y(s) - 3sY(s) + 2Y(s) = \frac{6}{s+1}
$$
步骤 2：化简得到关于 $Y(s)$ 的方程
整理可得：
$$
(s^2 - 3s + 2)Y(s) = \frac{6}{s+1}
$$
进一步得到：
$$
Y(s) = \frac{6}{(s+1)(s^2 - 3s + 2)}
$$
步骤 3：对 $Y(s)$ 进行部分分式分解
先将 $s^2 - 3s + 2$ 因式分解为 $(s-1)(s-2)$，则：
$$
Y(s) = \frac{6}{(s+1)(s-1)(s-2)}
$$
设：
$$
\frac{6}{(s+1)(s-1)(s-2)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s-1} + \frac{C}{s-2}
$$
通分后可得：
$$
6 = A(s-1)(s-2) + B(s+1)(s-2) + C(s+1)(s-1)
$$
分别令 $s=-1$，$s=1$，$s=2$ 来确定 $A$、$B$、$C$ 的值。
当 $s=-1$ 时，$6 = A(-2)(-3)$，解得 $A=1$。
当 $s=1$ 时，$6 = B(2)(-1)$，解得 $B=-3$。
当 $s=2$ 时，$6 = C(3)(1)$，解得 $C=2$。
所以：
$$
Y(s) = \frac{1}{s+1} - \frac{3}{s-1} + \frac{2}{s-2}
$$
步骤 4：进行拉普拉斯逆变换求出 $y(t)$
根据拉普拉斯逆变换的性质，有：
$$
\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s+1}\right] = e^{-t}
$$
$$
\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s-a}\right] = e^{at}
$$
所以：
$$
y(t) = \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s+1} - \frac{3}{s-1} + \frac{2}{s-2}\right] = e^{-t} - 3e^{t} + 2e^{2t}
$$