题目
齐次线性方程组只有零解的充要条件是其系数矩阵的秩等于未知量的个数。( )A.对B.错
齐次线性方程组只有零解的充要条件是其系数矩阵的秩等于未知量的个数。( )
A.对
B.错
题目解答
答案
设齐次线性方程组
，未知数的个数为n，系数矩阵的秩
；方程组有唯一解的充要条件是：
，原命题正确。
本题的答案是：A。
解析
步骤 1：理解齐次线性方程组的定义
齐次线性方程组是指形如 Ax = 0 的方程组，其中 A 是系数矩阵，x 是未知数向量，0 是零向量。齐次线性方程组总是有零解，即 x = 0 是方程组的一个解。
步骤 2：理解系数矩阵的秩
系数矩阵 A 的秩（记为 R(A)）是指矩阵 A 的行向量或列向量中线性无关的向量的最大个数。秩反映了矩阵 A 的线性独立性。
步骤 3：分析齐次线性方程组的解
齐次线性方程组 Ax = 0 的解集是一个向量空间，称为解空间。解空间的维数等于未知数的个数 n 减去系数矩阵 A 的秩 R(A)。如果 R(A) = n，则解空间的维数为 0，即解空间只包含零向量，此时方程组只有零解。
步骤 4：判断命题的正确性
根据上述分析，齐次线性方程组只有零解的充要条件是系数矩阵 A 的秩等于未知数的个数 n。因此，命题是正确的。
齐次线性方程组是指形如 Ax = 0 的方程组，其中 A 是系数矩阵，x 是未知数向量，0 是零向量。齐次线性方程组总是有零解，即 x = 0 是方程组的一个解。
步骤 2：理解系数矩阵的秩
系数矩阵 A 的秩（记为 R(A)）是指矩阵 A 的行向量或列向量中线性无关的向量的最大个数。秩反映了矩阵 A 的线性独立性。
步骤 3：分析齐次线性方程组的解
齐次线性方程组 Ax = 0 的解集是一个向量空间，称为解空间。解空间的维数等于未知数的个数 n 减去系数矩阵 A 的秩 R(A)。如果 R(A) = n，则解空间的维数为 0，即解空间只包含零向量，此时方程组只有零解。
步骤 4：判断命题的正确性
根据上述分析，齐次线性方程组只有零解的充要条件是系数矩阵 A 的秩等于未知数的个数 n。因此，命题是正确的。