题目

12.证明lim_(ntoinfty)((1)/(sqrt(n^2)+1)+(1)/(sqrt(n^2)+2)+...+(1)/(sqrt(n^2)+n))=1.

12.证明 $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\right)=1.$

题目解答

答案

考虑和式 $\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2+k}}$，利用夹逼准则。 注意到 $n^2 < n^2+k < n^2+n$，取倒数得： \[ \frac{1}{\sqrt{n^2+n}} < \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} < \frac{1}{n} \] 求和得： \[ \frac{n}{\sqrt{n^2+n}} < \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} < 1 \] 计算极限： \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2+n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}} = 1 \] 由夹逼准则，原式极限为 $\boxed{1}$。

解析

考查要点：本题主要考查数列极限的计算，特别是利用夹逼准则处理和式极限的能力。关键在于通过构造合适的上下界，将和式夹在两个趋于同一极限的数列之间。

解题核心思路：

  1. 观察和式结构：和式中的每一项均为$\frac{1}{\sqrt{n^2 + k}}$，分母随$k$递增而增大。
  2. 建立不等式链：通过比较分母的大小关系，对每一项进行放缩，得到和式的上下界。
  3. 求和并取极限：对上下界求和后，分别计算它们的极限，验证两者相等，从而应用夹逼准则。

破题关键点：

  • 分母的范围分析：明确$n^2 < n^2 + k < n^2 + n$，从而对$\frac{1}{\sqrt{n^2 + k}}$进行有效放缩。
  • 和式的上下界构造：通过求和将不等式转化为整体和式的上下界，并化简计算极限。

步骤1：分析分母范围
对于$k = 1, 2, \dots, n$，有：
$n^2 < n^2 + k < n^2 + n.$
取倒数并开平方（注意不等号方向）：
$\frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} < \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}} < \frac{1}{n}.$

步骤2：对不等式求和
将上述不等式对$k$从$1$到$n$求和：
$\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} < \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}} < \sum_{k=1}^n \frac{1}{n}.$
计算得：
$\frac{n}{\sqrt{n^2 + n}} < S_n < 1,$
其中$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}}$。

步骤3：计算上下界的极限

  • 下界化简：
    $\frac{n}{\sqrt{n^2 + n}} = \frac{n}{n\sqrt{1 + \frac{1}{n}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}}}.$
    当$n \to \infty$时，$\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}}} \to 1$。
  • 上界直接得极限：$\lim_{n \to \infty} 1 = 1$。

步骤4：应用夹逼准则
由于上下界的极限均为$1$，根据夹逼准则，原和式极限为$1$。