题目
11 单选 (4分)-|||-lim _(xarrow {pi )_(+)}dfrac (sqrt {1+cos x)}(sin x)= ()-|||-○ A. -dfrac (sqrt {3)}(2)-|||-B. √2/2-|||-C. -dfrac (sqrt {2)}(2)-|||-D.√3/2
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定极限的类型
题目要求计算的是当$x$趋近于$\pi$的右侧时，函数$\dfrac {\sqrt {1+\cos x}}{\sin x}$的极限。这是一个典型的三角函数极限问题。
步骤 2：代入$x=\pi$的右侧值
当$x$趋近于$\pi$的右侧时，$\cos x$趋近于$-1$，$\sin x$趋近于$0$，但因为$x$是从$\pi$的右侧趋近，所以$\sin x$是负值。因此，我们需要考虑$\sin x$的符号。
步骤 3：计算极限
代入$x=\pi$的右侧值，我们得到$\cos x = -1$，$\sin x = -\sqrt{1 - \cos^2 x} = -\sqrt{1 - (-1)^2} = -\sqrt{1 - 1} = -\sqrt{0} = 0$。但是，由于$x$是从$\pi$的右侧趋近，$\sin x$是负值，所以$\sin x = -0$。因此，$\dfrac {\sqrt {1+\cos x}}{\sin x} = \dfrac {\sqrt {1-1}}{-0} = \dfrac {0}{-0}$。这个表达式是未定式，需要进一步化简。
步骤 4：化简表达式
$\dfrac {\sqrt {1+\cos x}}{\sin x} = \dfrac {\sqrt {1+\cos x}}{\sqrt{1-\cos^2 x}} = \dfrac {\sqrt {1+\cos x}}{\sqrt{(1+\cos x)(1-\cos x)}} = \dfrac {1}{\sqrt{1-\cos x}}$。当$x$趋近于$\pi$的右侧时，$\cos x$趋近于$-1$，所以$1-\cos x$趋近于$2$。因此，$\dfrac {1}{\sqrt{1-\cos x}}$趋近于$\dfrac {1}{\sqrt{2}} = \dfrac {\sqrt{2}}{2}$。但是，由于$\sin x$是负值，所以最终结果是$-\dfrac {\sqrt{2}}{2}$。
题目要求计算的是当$x$趋近于$\pi$的右侧时，函数$\dfrac {\sqrt {1+\cos x}}{\sin x}$的极限。这是一个典型的三角函数极限问题。
步骤 2：代入$x=\pi$的右侧值
当$x$趋近于$\pi$的右侧时，$\cos x$趋近于$-1$，$\sin x$趋近于$0$，但因为$x$是从$\pi$的右侧趋近，所以$\sin x$是负值。因此，我们需要考虑$\sin x$的符号。
步骤 3：计算极限
代入$x=\pi$的右侧值，我们得到$\cos x = -1$，$\sin x = -\sqrt{1 - \cos^2 x} = -\sqrt{1 - (-1)^2} = -\sqrt{1 - 1} = -\sqrt{0} = 0$。但是，由于$x$是从$\pi$的右侧趋近，$\sin x$是负值，所以$\sin x = -0$。因此，$\dfrac {\sqrt {1+\cos x}}{\sin x} = \dfrac {\sqrt {1-1}}{-0} = \dfrac {0}{-0}$。这个表达式是未定式，需要进一步化简。
步骤 4：化简表达式
$\dfrac {\sqrt {1+\cos x}}{\sin x} = \dfrac {\sqrt {1+\cos x}}{\sqrt{1-\cos^2 x}} = \dfrac {\sqrt {1+\cos x}}{\sqrt{(1+\cos x)(1-\cos x)}} = \dfrac {1}{\sqrt{1-\cos x}}$。当$x$趋近于$\pi$的右侧时，$\cos x$趋近于$-1$，所以$1-\cos x$趋近于$2$。因此，$\dfrac {1}{\sqrt{1-\cos x}}$趋近于$\dfrac {1}{\sqrt{2}} = \dfrac {\sqrt{2}}{2}$。但是，由于$\sin x$是负值，所以最终结果是$-\dfrac {\sqrt{2}}{2}$。