题目
设薄片所占的闭区域D由=sqrt (2px) x=5 =0所围成，则该均匀薄片的质心横坐标为（）。
设薄片所占的闭区域D由
所围成，则该均匀薄片的质心横坐标为（）。
题目解答
答案
根据质心坐标公式，
。
其中密度ρ为常数。故
故质心的横坐标为3。
解析
步骤 1：确定薄片的闭区域D
薄片所占的闭区域D由$y=\sqrt {2px}$，$x=5$，$y=0$所围成。这意味着闭区域D在x轴上从0到5，y轴上从0到$\sqrt {2px}$。
步骤 2：计算质心横坐标
质心横坐标$X$的计算公式为$X=\dfrac {\iint xe(x,y)dxdy}{\int {\int }_{P}(x,y)dxdy}$，其中密度ρ为常数。因此，我们只需要计算分子和分母的积分。
步骤 3：计算分子的积分
分子的积分是$\iint xe(x,y)dxdy$，其中$e(x,y)$是密度函数。由于密度是常数，我们可以将其提出来，只计算$x$的积分。因此，分子的积分变为$\int_{0}^{5} \int_{0}^{\sqrt{2px}} x \, dy \, dx$。
步骤 4：计算分母的积分
分母的积分是$\int {\int }_{P}(x,y)dxdy$，同样由于密度是常数，我们可以将其提出来，只计算面积的积分。因此，分母的积分变为$\int_{0}^{5} \int_{0}^{\sqrt{2px}} 1 \, dy \, dx$。
步骤 5：计算积分
分子的积分计算如下：
$$\int_{0}^{5} \int_{0}^{\sqrt{2px}} x \, dy \, dx = \int_{0}^{5} x \left[ y \right]_{0}^{\sqrt{2px}} dx = \int_{0}^{5} x \sqrt{2px} \, dx = \sqrt{2p} \int_{0}^{5} x^{3/2} \, dx = \sqrt{2p} \left[ \frac{2}{5} x^{5/2} \right]_{0}^{5} = \sqrt{2p} \cdot \frac{2}{5} \cdot 5^{5/2} = 10\sqrt{2p}$$
分母的积分计算如下：
$$\int_{0}^{5} \int_{0}^{\sqrt{2px}} 1 \, dy \, dx = \int_{0}^{5} \left[ y \right]_{0}^{\sqrt{2px}} dx = \int_{0}^{5} \sqrt{2px} \, dx = \sqrt{2p} \int_{0}^{5} x^{1/2} \, dx = \sqrt{2p} \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{5} = \sqrt{2p} \cdot \frac{2}{3} \cdot 5^{3/2} = \frac{10\sqrt{2p}}{3}$$
步骤 6：计算质心横坐标
质心横坐标$X$的计算如下：
$$X = \frac{10\sqrt{2p}}{\frac{10\sqrt{2p}}{3}} = 3$$
薄片所占的闭区域D由$y=\sqrt {2px}$，$x=5$，$y=0$所围成。这意味着闭区域D在x轴上从0到5，y轴上从0到$\sqrt {2px}$。
步骤 2：计算质心横坐标
质心横坐标$X$的计算公式为$X=\dfrac {\iint xe(x,y)dxdy}{\int {\int }_{P}(x,y)dxdy}$，其中密度ρ为常数。因此，我们只需要计算分子和分母的积分。
步骤 3：计算分子的积分
分子的积分是$\iint xe(x,y)dxdy$，其中$e(x,y)$是密度函数。由于密度是常数，我们可以将其提出来，只计算$x$的积分。因此，分子的积分变为$\int_{0}^{5} \int_{0}^{\sqrt{2px}} x \, dy \, dx$。
步骤 4：计算分母的积分
分母的积分是$\int {\int }_{P}(x,y)dxdy$，同样由于密度是常数，我们可以将其提出来，只计算面积的积分。因此，分母的积分变为$\int_{0}^{5} \int_{0}^{\sqrt{2px}} 1 \, dy \, dx$。
步骤 5：计算积分
分子的积分计算如下：
$$\int_{0}^{5} \int_{0}^{\sqrt{2px}} x \, dy \, dx = \int_{0}^{5} x \left[ y \right]_{0}^{\sqrt{2px}} dx = \int_{0}^{5} x \sqrt{2px} \, dx = \sqrt{2p} \int_{0}^{5} x^{3/2} \, dx = \sqrt{2p} \left[ \frac{2}{5} x^{5/2} \right]_{0}^{5} = \sqrt{2p} \cdot \frac{2}{5} \cdot 5^{5/2} = 10\sqrt{2p}$$
分母的积分计算如下：
$$\int_{0}^{5} \int_{0}^{\sqrt{2px}} 1 \, dy \, dx = \int_{0}^{5} \left[ y \right]_{0}^{\sqrt{2px}} dx = \int_{0}^{5} \sqrt{2px} \, dx = \sqrt{2p} \int_{0}^{5} x^{1/2} \, dx = \sqrt{2p} \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{5} = \sqrt{2p} \cdot \frac{2}{3} \cdot 5^{3/2} = \frac{10\sqrt{2p}}{3}$$
步骤 6：计算质心横坐标
质心横坐标$X$的计算如下：
$$X = \frac{10\sqrt{2p}}{\frac{10\sqrt{2p}}{3}} = 3$$