题目
向量β=，由向量组β=β=β=线性表示，表示式为（）A β=B β=C β=D β=
向量
，由向量组
线性表示，表示式为（）
A 
B 
C 
D 
题目解答
答案
解：
由题意可得向量
可由向量组
线性表示
∴设
即
得出线性方程组
解得
所以
正确答案 D
解析
步骤 1：设向量β由向量组α1, α2, α3线性表示
根据题意，向量β可以由向量组α1, α2, α3线性表示，即存在实数x, y, z使得
$\beta = x\alpha_1 + y\alpha_2 + z\alpha_3$
步骤 2：列出线性方程组
将向量β和向量组α1, α2, α3代入上述等式，得到
$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + z\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$
这可以转化为线性方程组
$\left \{ \begin{matrix} 1=-2x-y+2z\\ 1=4x+3y-3z\\ 3=x+5y+z\end{matrix} \right.$
步骤 3：解线性方程组
解上述线性方程组，得到
$\left \{ \begin{matrix} x=4\\ y=-1\\ z=4\end{matrix} \right.$
步骤 4：写出向量β的线性表示
根据解得的x, y, z的值，可以写出向量β的线性表示为
$\beta = 4\alpha_1 - \alpha_2 + 4\alpha_3$
根据题意，向量β可以由向量组α1, α2, α3线性表示，即存在实数x, y, z使得
$\beta = x\alpha_1 + y\alpha_2 + z\alpha_3$
步骤 2：列出线性方程组
将向量β和向量组α1, α2, α3代入上述等式，得到
$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + z\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$
这可以转化为线性方程组
$\left \{ \begin{matrix} 1=-2x-y+2z\\ 1=4x+3y-3z\\ 3=x+5y+z\end{matrix} \right.$
步骤 3：解线性方程组
解上述线性方程组，得到
$\left \{ \begin{matrix} x=4\\ y=-1\\ z=4\end{matrix} \right.$
步骤 4：写出向量β的线性表示
根据解得的x, y, z的值，可以写出向量β的线性表示为
$\beta = 4\alpha_1 - \alpha_2 + 4\alpha_3$