题目
以下是判断级数=1 sin π/2^n收敛性的步骤，请选择出正确步骤=1 sin π/2^n=1 sin π/2^n 根据比较判别法=1 sin π/2^n收敛 =1 sin π/2^n 根据比较判别法=1 sin π/2^n发散. =1 sin π/2^n=1 sin π/2^n
以下是判断级数
收敛性的步骤，请选择出正确步骤
根据比较判别法收敛 
根据比较判别法发散.
题目解答
答案
由题意知级数
可采用比较判别法：
首先判定级数与其他级数的大小关系，然后在判定引入级数的敛散性
由于
,则判别
收敛性
为几何级数，公比
可得：级数收敛
于是级数
故答案选
解析
步骤 1：比较判别法
比较判别法是判断级数收敛性的一种方法，它通过将级数与已知敛散性的级数进行比较来判断原级数的敛散性。如果级数的每一项都小于或等于一个已知收敛级数的对应项，那么原级数也收敛。
步骤 2：应用比较判别法
对于级数$\sum_{n=1}^{\infty} \sin \dfrac {\pi }{{2}^{n}}$，我们首先需要找到一个合适的级数进行比较。根据三角函数的性质，我们知道$\sin x \leq x$对于$x \geq 0$成立。因此，$\sin \dfrac {\pi }{{2}^{n}}\leqslant \dfrac {\pi }{{2}^{n}}$。这意味着我们可以将原级数与级数$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac {\pi }{{2}^{n}}$进行比较。
步骤 3：判断比较级数的敛散性
级数$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac {\pi }{{2}^{n}}$是一个几何级数，其公比$q = \dfrac{1}{2}$。由于公比的绝对值小于1，根据几何级数的收敛性定理，该级数收敛。
步骤 4：得出结论
由于$\sum_{n=1}^{\infty} \sin \dfrac {\pi }{{2}^{n}}$的每一项都小于或等于$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac {\pi }{{2}^{n}}$的对应项，且后者收敛，根据比较判别法，原级数$\sum_{n=1}^{\infty} \sin \dfrac {\pi }{{2}^{n}}$也收敛。
比较判别法是判断级数收敛性的一种方法，它通过将级数与已知敛散性的级数进行比较来判断原级数的敛散性。如果级数的每一项都小于或等于一个已知收敛级数的对应项，那么原级数也收敛。
步骤 2：应用比较判别法
对于级数$\sum_{n=1}^{\infty} \sin \dfrac {\pi }{{2}^{n}}$，我们首先需要找到一个合适的级数进行比较。根据三角函数的性质，我们知道$\sin x \leq x$对于$x \geq 0$成立。因此，$\sin \dfrac {\pi }{{2}^{n}}\leqslant \dfrac {\pi }{{2}^{n}}$。这意味着我们可以将原级数与级数$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac {\pi }{{2}^{n}}$进行比较。
步骤 3：判断比较级数的敛散性
级数$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac {\pi }{{2}^{n}}$是一个几何级数，其公比$q = \dfrac{1}{2}$。由于公比的绝对值小于1，根据几何级数的收敛性定理，该级数收敛。
步骤 4：得出结论
由于$\sum_{n=1}^{\infty} \sin \dfrac {\pi }{{2}^{n}}$的每一项都小于或等于$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac {\pi }{{2}^{n}}$的对应项，且后者收敛，根据比较判别法，原级数$\sum_{n=1}^{\infty} \sin \dfrac {\pi }{{2}^{n}}$也收敛。