题目
4.求向量组alpha_(1)=(1,0,2,1)^T,alpha_(2)=(1,2,0,1)^T,alpha_(3)=(2,1,3,0)^T,alpha_(4)=(2,5,-1,4)^T的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的向量用极大无关组线性表示.
4.求向量组$\alpha_{1}=(1,0,2,1)^{T},\alpha_{2}=(1,2,0,1)^{T},\alpha_{3}=(2,1,3,0)^{T},\alpha_{4}=(2,5,-1,4)^{T}$的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的向量用极大无关组线性表示.
题目解答
答案
将向量组构成矩阵 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4)$，其中 $\alpha_1 = (1, 0, 2, 1)^T$，$\alpha_2 = (1, 2, 0, 1)^T$，$\alpha_3 = (2, 1, 3, 0)^T$，$\alpha_4 = (2, 5, -1, 4)^T$。
对 $A$ 进行初等行变换，化为行最简形：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
主元位于第1、2、3列，故极大无关组为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$。
由行最简形得 $\alpha_4 = \alpha_1 + 3\alpha_2 - \alpha_3$。
**答案：**
极大无关组：$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$
线性表示：$\alpha_4 = \alpha_1 + 3\alpha_2 - \alpha_3$
\[
\boxed{
\begin{array}{cc}
\text{极大无关组：} & \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \\
\text{线性表示：} & \alpha_4 = \alpha_1 + 3\alpha_2 - \alpha_3
\end{array}
}
\]
解析
本题考查向量组的极大无关组的求解以及向量用极大无关组线性表示的知识点。解题思路是将向量组构成矩阵，然后对矩阵进行初等行变换化为行最简形，根据行最简形确定极大无关组，再通过行最简形得到向量之间的线性关系。
- 首先，将向量组$\alpha_{1}=(1,0,2,1)^{T},\alpha_{2}=(1,2,0,1)^{T},\alpha_{3}=(2,1,3,0)^{T},\alpha_{4}=(2,5,-1,4)^{T}$构成矩阵$A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4)$，即
$A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 2 \\0 & 2 & 1 & 5 \\2 & 0 & 3 & -1 \\1 & 1 & 0 & 4\end{pmatrix}$ - 然后对矩阵$A$进行初等行变换化为行最简形：
- 第二行不变，第一行乘以$-2$加到第三行，第一行乘以$-1$加到第四行，得到
$\begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 2 \\0 & 2 & 1 & 5 \\0 & -2 & -1 & -5 \\0 & 0 & -2 & 2\end{pmatrix}$ - 第二行加到第三行，得到
$\begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 2 \\0 & 2 & 1 & 5 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & -2 & 2\end{pmatrix}$ - 交换第三行和第四行，得到
$\begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 2 \\0 & 2 & 1 & 5 \\0 & 0 & -2 & 2 \\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$ - 第三行乘以$-\frac{1}{2}$，得到
$\begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 2 \\0 & 2 & 1 & 5 \\0 & 0 & 1 & -1 \\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$ - 第三行乘以$-1$加到第二行，第三行乘以$-2$加到第一行，得到
$\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 4 \\0 & 2 & 0 & 6 \\0 & 0 & 1 & -1 \\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$ - 第二行乘以$\frac{1}{2}$，得到
$\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 4 \\0 & 1 & 0 & 3 \\0 & 0 & 1 & -1 \\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$ - 第二行乘以$-1$加到第一行，得到
$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0 & 3 \\0 & 0 & 1 & -1 \\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
- 第二行不变，第一行乘以$-2$加到第三行，第一行乘以$-1$加到第四行，得到
- 最后，根据行最简形确定极大无关组和线性关系：
- 行最简形中主元位于第$1$、$2$、$3$列，所以极大无关组为$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$。
- 由行最简形可得$\alpha_4 = \alpha_1 + 3\alpha_2 - \alpha_3$。