【题目】-|||-设α1,a2,α3线性无关,证明: (alpha )_(1)+(alpha )_(2), (alpha )_(2)+(alpha )_(3), (alpha )_(3)+(alpha )_(1) 也线-|||-性无关.

考查要点：本题主要考查向量组线性无关性的证明方法，需要利用线性组合的性质及方程组求解。

解题核心思路：
假设存在线性组合等于零向量，通过整理得到关于原向量组的系数方程组。利用原向量组线性无关的条件，推导出所有系数必须为零，从而证明新向量组线性无关。

破题关键点：

1. 正确展开并整理线性组合，将新向量组的线性组合转化为原向量组的线性组合。
2. 利用原向量组的线性无关性，得到系数方程组。
3. 解方程组验证唯一零解，确保新向量组线性无关。

步骤1：假设线性组合等于零向量
设有实数$l_1, l_2, l_3$，使得：
$l_1(\alpha_1 + \alpha_2) + l_2(\alpha_2 + \alpha_3) + l_3(\alpha_3 + \alpha_1) = 0.$

步骤2：展开并整理
展开后合并同类项：
$(l_1 + l_3)\alpha_1 + (l_1 + l_2)\alpha_2 + (l_2 + l_3)\alpha_3 = 0.$

步骤3：利用原向量组的线性无关性
由于$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性无关，其系数必须全为零：
$\begin{cases}l_1 + l_3 = 0, \\l_1 + l_2 = 0, \\l_2 + l_3 = 0.\end{cases}$

步骤4：解方程组

• 由第一式得 $l_3 = -l_1$。
• 由第二式得 $l_2 = -l_1$。
• 将$l_2 = -l_1$和$l_3 = -l_1$代入第三式：
  $(-l_1) + (-l_1) = -2l_1 = 0 \implies l_1 = 0.$
• 进一步得 $l_2 = 0$，$l_3 = 0$。

结论：唯一解为$l_1 = l_2 = l_3 = 0$，故$\alpha_1 + \alpha_2$，$\alpha_2 + \alpha_3$，$\alpha_3 + \alpha_1$线性无关。