题目
注 类似地，求极限lim_(xto0)(ln(1+x)ln(1-x)-ln(1-x^2))/(x^4).2.“(8)/(18)”型极限
注 类似地，
求极限$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)\ln(1-x)-\ln(1-x^{2})}{x^{4}}$.
2.“$\frac{8}{18}$”型极限
题目解答
答案
利用泰勒展开式，有：
\[
\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + O(x^5)
\]
\[
\ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + O(x^5)
\]
\[
\ln(1-x^2) = -x^2 - \frac{x^4}{2} + O(x^6)
\]
计算乘积并保留至 $x^4$ 项：
\[
\ln(1+x)\ln(1-x) = -x^2 - \frac{x^4}{2} + O(x^5)
\]
则：
\[
\ln(1+x)\ln(1-x) - \ln(1-x^2) = -\frac{x^4}{2} + O(x^5)
\]
因此，极限为：
\[
\lim_{x\to0}\frac{-\frac{x^4}{2} + O(x^5)}{x^4} = -\frac{1}{2}
\]
答案：$\boxed{-\frac{1}{2}}$