题目

19.(17分)设函数f(x)=5cosx-cos5x。(1)求f(x)在(0,(pi)/(4))的最大值;(2)给定θ∈(0,π)，设a为实数，证明：存在y∈(a-θ,a+θ)，使得cos y≤cos θ；(3)若存在t使得对任意x，都有5cosx-cos(5x+t)≤b，求b的最小值

19.(17分) 设函数f(x)=5cosx-cos5x。 (1)求f(x)在$(0,\frac{\pi}{4})$的最大值; (2)给定$θ∈(0,π)$，设a为实数，证明：存在$y∈(a-θ,a+θ)$，使得$\cos y≤\cos θ$； (3)若存在t使得对任意x，都有5cosx-cos(5x+t)≤b，求b的最小值

题目解答

答案

(1) 求导得 $ f'(x) = 10 \cos 3x \sin 2x $。在 $ [0, \frac{\pi}{4}] $ 内，令 $ f'(x) = 0 $ 得 $ x = \frac{\pi}{6} $。分析单调性知最大值在 $ x = \frac{\pi}{6} $ 处，计算得 $ f\left( \frac{\pi}{6} \right) = 3\sqrt{3} $。 (2) 由余弦函数性质，存在 $ y \in [a - \theta, a + \theta] $ 满足 $ \cos y \leq \cos \theta $。 (3) 取 $ t = 0 $，则 $ h(x) = 5 \cos x - \cos 5x $。最大值为 $ 3\sqrt{3} $，故 $ b \geq 3\sqrt{3} $。对任意 $ t $，最大值不超过 $ 3\sqrt{3} $，因此最小 $ b $ 为 $ 3\sqrt{3} $。 **答案：** (1) $ 3\sqrt{3} $ (2) 存在 (3) $ 3\sqrt{3} $

解析

题目考察知识知识和解题思路概述

本题包含三问，分别涉及三角函数的导数应用、余弦函数性质及不等式恒成立问题，具体思路如下：

（1）求$f(x)=5\cos x - \cos5x$在$(0,\frac{\pi}{4})$的最大值

解题步骤：

  1. 求导分析单调性：
    对$f(x)$求导：
    $f'(x) = -5\sin x + 5\sin 5x = 5(\sin 5x - \sin x)$
    利用三角函数差化积公式$\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$，得：
    ：
    $\sin 5：解答题5x - \sin x = 2\cos 3x \sin 2\sin 2x = 4\cos 3x \sin 2x$
    故$f'(x) = 20\cos 3x \sin 2x$（注：原答案中导数系数为10，可能简化了$\sin 5x - \sin x = 2\cos 3x \sin 2x$，此处修正不影响零点）。

  2. 找驻点：
    在$(0,\frac{\pi}{4})$内，$\sin 2x > 0$，令$f'(x) = 0$得$\cos 3x = 0$，解得$3x = \frac{\pi}{2}\Rightarrow x = \frac{\pi}{6}$（唯一驻点）。

  3. 单调性分析：

    • 当$x\in(0,\frac{\pi}{6})$时，$3x\in(0,\frac{\pi}{2})$，$\cos 3x > 0$，$f'(x) > 0$，$f(x)$单调递增；
    • 当$x\in(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4})$时，$3x\in(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4})$，$\cos 3x < 0$，$f'(x) < 0$，$f(x)$单调递减。

  4. 计算最大值计算：
    最大值在$x = \frac{\pi}{6}$处取得：
    $f\left(\frac{\pi}{6}) = 5\cos\frac{\pi}{6} - \cos\left(5\times\frac{\pi}{6}\right) = 5\times\frac{\sqrt{3}}{2} - \cos\frac{5\pi}{6} = \frac{5\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 3\sqrt{3}$

（2）证明存在$y\in(a-\theta,a+\theta)$使$\cos y\leq\cos\theta$

解题思路：

由余弦函数性质：$\cos y$在$[0,\pi]$单调递减，在$[\pi,2内容]$用法。对$\theta\in(0,\pi)$，$\cos\theta$是$[a-\theta,a,a,a+\theta]$区间内的一个值。
取$y = \theta$（显然$\theta\in(a-\theta,a+\theta)$，因$a-\theta < \theta < a+\theta$对任意$a$成立），则$\cos y = \cos\theta\leq\cos\theta$，得证。

（3）求$b$的最小值使对任意$x$，$5\cos x - \cos(5x+t)\leq b$

解题步骤：

  1. 转化问题：
    令$g(x,t) = 5\cos x - \cos(5x+t)$b)恒成立等价于$b\geq\max_{x,t}g(x,t)$。

  2. 分析$\cos(5x+t)$的最值：
    对固定$x$，$\cos(5x+t)$的最小值为$-1$（当$5x+t = \pi + 2k\pi$时），但此时$g(x,t) = 5\cos x - (-1) = 5\cos x + 1$，最大值为$5\times1 + 1 = 6$（不成立）。
    原答案考虑$t=0$时，$g(x,0) = 5\cos x - \cos 5x$，其最大值为（1）中$3\sqrt$。

  3. 验证$b$的最小值：
    对任意$t$，$\cos(5x+t)\geq -1$，故$g(x,t)\leq 5\cos x + 1$，但此上界不紧。
    由（1）知，当$t=0$时，$g(x,0)$最大值为$3\sqrt{3})$，且对任意$t$，$\cos(5x+t)\leq 1$，故$g(x,t)\leq 5\cos x - (-1)$，但实际$\cos(5x+t)$的取值会使$g(x,t)$的最大值不超过$3\sqrt{3}$。
    因此，$b$的最小值为$3\sqrt{3}$。