填空题（共10题，30.0分） 7. (3.0分) int sin 5xdx=____.

要解决积分 $\int \sin 5x \, dx$，我们可以使用换元法。设 $u = 5x$。那么，$u$ 关于 $x$ 的导数是 $\frac{du}{dx} = 5$，或者等价地，$du = 5 \, dx$。为了将 $dx$ 用 $du$ 表示，我们将等式两边同时除以 5，得到 $dx = \frac{1}{5} \, du$。 现在，将 $u$ 和 $dx$ 代入原积分，我们有： \[ \int \sin 5x \, dx = \int \sin u \cdot \frac{1}{5} \, du = \frac{1}{5} \int \sin u \, du. \] 接下来，我们需要积分 $\sin u$。 $\sin u$ 的积分是 $-\cos u + C$，其中 $C$ 是积分常数。因此，我们有： \[ \frac{1}{5} \int \sin u \, du = \frac{1}{5} \left( -\cos u + C \right) = -\frac{1}{5} \cos u + \frac{C}{5}. \] 由于 $\frac{C}{5}$ 也是一个常数，我们可以将其表示为 $C$。现在，将 $u = 5x$ 代回，我们得到： \[ -\frac{1}{5} \cos 5x + C. \] 因此，积分 $\int \sin 5x \, dx$ 的解是： \[ \boxed{-\frac{1}{5} \cos 5x + C}. \]