单选题（共5题，10.0分） 13.（2.0分）设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且PX=1|Xleq1=0.8，则λ的值为（）。A. 2B. 0.8C. 4D. 0.25

考查要点：本题主要考查条件概率的计算以及泊松分布的概率公式的应用。

解题核心思路：

1. 条件概率公式：明确事件之间的包含关系，正确写出条件概率的表达式。
2. 泊松分布的概率公式：代入参数λ，计算特定取值的概率。
3. 方程求解：通过条件概率的等式建立方程，解出λ的值。

破题关键点：

• 事件关系：X=1是X≤1的子事件，因此条件概率的分母为P{X≤1}。
• 泊松分布性质：利用泊松分布的PMF公式，简化条件概率表达式。
• 方程变形：通过代数运算解出λ的值。

条件概率公式：
根据题意，条件概率可表示为：
$P\{X=1|X\leq1\} = \frac{P\{X=1\}}{P\{X\leq1\}}.$

泊松分布的概率计算：

1. 分子：当X=1时，泊松分布的概率为：
   $P\{X=1\} = \frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!} = \lambda e^{-\lambda}.$
2. 分母：X≤1的概率为X=0和X=1的概率之和：
   $P\{X\leq1\} = P\{X=0\} + P\{X=1\} = e^{-\lambda} + \lambda e^{-\lambda} = e^{-\lambda}(1 + \lambda).$

化简条件概率：
将分子和分母代入条件概率公式：
$P\{X=1|X\leq1\} = \frac{\lambda e^{-\lambda}}{e^{-\lambda}(1 + \lambda)} = \frac{\lambda}{1 + \lambda}.$

建立方程并求解：
根据题意，$\frac{\lambda}{1 + \lambda} = 0.8$，解得：
$\lambda = 0.8(1 + \lambda) \implies 0.2\lambda = 0.8 \implies \lambda = 4.$