已知非齐次方程组 } x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 x_2 + 2x_3 + 2x_4 = 1 -2x_2 - 4x_3 - 4x_4 = -2 3x_1 + 2x_2 + x_3 + x_4 = -1 (1) 求方程组的增广矩阵的行最简形矩阵；(2) 求方程组的一个特解；(3) 求方程组对应的齐次线性方程组（即导出组）的一个基础解系；(4) 写出方程组的通解.

本题主要考查线性方程组的增广矩阵的行最简形、特解、基础解系以及通解的求解。解题的关键在于熟练运用矩阵的初等行变换将增广矩阵化为行最简形，然后根据行最简形来确定特解、基础解系，最后得出通解。

(1) 求方程组的增广矩阵的行最简形矩阵

首先写出方程组的增广矩阵$\overline{A}$：
$\overline{A}=\begin{pmatrix}1&1&1&1&0\\0&1&2&2&1\\0& - 2& - 4& - 4& - 2\\3&2&1&1& - 1\end{pmatrix}$
然后进行初等行变换：

• 第三行加上第二行的$2$倍，第四行减去第一行的$3$倍，得到
  $\begin{pmatrix}1&1&1&1&0\\0&1&2&2&1\\0&0&0&0&0\\0& - 1& - 2& - 2& - 1\end{pmatrix}$
• 第四行加上第二行，得到
  $\begin{pmatrix}1&1&1&1&0\\0&1&2&2&1\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}$
• 第一行减去第二行，得到
  $\begin{pmatrix}1&0& - 1& - 1& - 1\\0&1&2&2&1\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}$
  所以增广矩阵的行最简形矩阵为$\begin{pmatrix}1&0& - 1& - 1& - 1\\0&1&2&2&1\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}$。

(2) 求方程组的一个特解

由行最简形矩阵对应的方程组为$\begin{cases}x_1 - x_3 - x_4 = - 1\\x_2 + 2x_3 + 2x_4 = 1\end{cases}$
令$x_3 = 0$，$x_4 = 0$，可得$x_1 = - 1$，$x_2 = 1$
所以方程组的一个特解为$\begin{pmatrix}-1\\1\\0\\0\end{pmatrix}$。

(3) 求方程组对应的齐次线性方程组（即导出组）的一个基础解系

对应的齐次线性方程组为$\begin{cases}x_1 - x_3 - x_4 = 0\\x_2 + 2x_3 + 2x_4 = 0\end{cases}$
即$\begin{cases}x_1 = x_3 + x_4\\x_2 = - 2x_3 - 2x_4\end{cases}$

• 令$\begin{pmatrix}x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$，则$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ - 2\end{pmatrix}$，得到解向量$\xi_1=\begin{pmatrix}1\\ - 2\\1\\0\end{pmatrix}$
• 令$\begin{pmatrix}x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$，则$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ - 2\end{pmatrix}$，得到解向量$\xi_2=\begin{pmatrix}1\\ - 2\\0\\1\end{pmatrix}$
  所以导出组的一个基础解系为$\begin{pmatrix}1\\ - 2\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\ - 2\\0\\1\end{pmatrix}$。

(4) 写出方程组的通解

根据非齐次线性方程组通解的结构：通解等于一个特解加上导出组的通解。
已知特解为$\begin{pmatrix}-1\\1\\0\\0\end{pmatrix}$，导出组的通解为$c_1\begin{pmatrix}1\\ - 2\\1\\0\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}1\\ - 2\\0\\1\end{pmatrix}$（$c_1,c_2$为任意常数）
所以方程组的通解为$\begin{pmatrix}-1\\1\\0\\0\end{pmatrix}+c_1\begin{pmatrix}1\\ - 2\\1\\0\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}1\\ - 2\\0\\1\end{pmatrix}$，也可写成$\begin{pmatrix}-1 + c_1 + c_2\\1 - 2c_1 - 2c_2\\c_1\\c_2\end{pmatrix}$（$c_1,c_2$为任意常数）。