计算曲线积分int _(Gamma )dfrac(xdx+ydy+zdz)(sqrt(x^2)+y^{2+z^2)}，其中Gamma 是曲线{x=sin t y=cos t z=e^t的一段.

本题考查曲线积分的计算，解题思路是先将曲线的参数方程代入曲线积分表达式，然后对被积函数进行化简，再通过换元法计算定积分。

1. 将曲线的参数方程代入曲线积分表达式：
   已知曲线$\Gamma$的参数方程为$\begin{cases}x = \sin t\\y = \cos t\\z = e^t\end{cases}$，对$x,y,z$分别求导：
   • 根据求导公式$(\sin t)^\prime=\cos t$，可得$dx = \cos tdt$；
   • 根据求导公式$(\cos t)^\prime=-\sin t$，可得$dy = -\sin tdt$；
   • 根据求导公式$(e^t)^\prime=e^t$，可得$dz = e^tdt$。
     将$x,y,z,dx,dy,dz$代入曲线积分$\int_{\Gamma}\frac{xdx + ydy + zdz}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$中，同时积分下限$t = 0$，上限$t = \frac{\pi}{2}$，得到：
     $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin t\cdot\cos t + \cos t\cdot(-\sin t) + e^t\cdot e^t}{\sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + (e^t)^2}}dt$
2. 化简被积函数：
   根据三角函数的平方关系$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$，对上式进行化简：
   $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin t\cos t - \cos t\sin t + e^{2t}}{\sqrt{1 + e^{2t}}}dt=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{e^{2t}}{\sqrt{1 + e^{2t}}}dt$
3. 换元计算定积分：
   令$u = 1 + e^{2t}$，则$du = 2e^{2t}dt$，即$e^{2t}dt=\frac{1}{2}du$。
   当$t = 0$时，$u = 1 + e^{2\times0}=2$；当$t = \frac{\pi}{2}$时，$u = 1 + e^{2\times\frac{\pi}{2}}=1 + e^{\pi}$。
   将$e^{2t}dt=\frac{1}{2}du$和积分上下限代入$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{e^{2t}}{\sqrt{1 + e^{2t}}}dt$中，得到：
   $\int_{2}^{1 + e^{\pi}}\frac{1}{2\sqrt{u}}du=\frac{1}{2}\int_{2}^{1 + e^{\pi}}u^{-\frac{1}{2}}du$
   根据积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}+C(n\neq -1)$，可得：
   $\frac{1}{2}\int_{2}^{1 + e^{\pi}}u^{-\frac{1}{2}}du=\frac{1}{2}\times\frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\big|_{2}^{1 + e^{\pi}}=\sqrt{u}\big|_{2}^{1 + e^{\pi}}$
4. 计算定积分的值：
   将积分上下限代入$\sqrt{u}\big|_{2}^{1 + e^{\pi}}$中，得到：
   $\sqrt{1 + e^{\pi}} - \sqrt{2}$