题目

例4 设f(x)在[0,1]上可导，且f(1)=0，证明：存在xiin(0,1)，使xi f^prime(xi)+f(xi)=0.

例4 设f(x)在[0,1]上可导，且f(1)=0，证明：存在$\xi\in(0,1)$，使$\xi f^{\prime}(\xi)+f(\xi)=0$.

题目解答

答案

定义辅助函数 $ F(x) = x f(x) $，则 $ F(x) $ 在 $[0,1]$ 上可导。
计算端点值：
$F(0) = 0 \cdot f(0) = 0, \quad F(1) = 1 \cdot f(1) = 0$
由罗尔中值定理，存在 $ \xi \in (0,1) $，使得 $ F'(\xi) = 0 $。
求导得：
$F'(x) = f(x) + x f'(x)$
故 $ F'(\xi) = f(\xi) + \xi f'(\xi) = 0 $，即
$\xi f'(\xi) + f(\xi) = 0$
结论： 存在 $ \xi \in (0,1) $，满足 $ \xi f'(\xi) + f(\xi) = 0 $。

$\boxed{\xi f'(\xi) + f(\xi) = 0}$

解析

本题考查罗尔中值定理的的应用，解题思路是通过构造合适的辅助函数，使其满足罗尔中值定理的条件，进而利用该定理得出结论。

  1. 构造辅助函数：
    观察要证明的等式$\xi f^{\prime}(\xi)+f(\xi)=0$，发现其形式与乘积函数求导公式$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$相关。
    设辅助函数$F(x)=xf(x)$，因为$f(x)$在$[0,1]$上可导，$y = x$在$[0,1]$上也可导，根据可导函数的乘积仍为可导函数，可知可得$F(x)$在$[0,1]$上可导。
    2 验证罗尔中值定理的端点值条件：**
    计算$F(x)$在区间端点$x = 0$和$x = 1$处的值。
    • 当$x = 0$时，$F(0)=0\times f(0)=0$。
    • 已知$f(1)=0$，当$x = 1$时，$F(1)=1\times f(1)=0$。
      所以$F(0)=F(1)$，满足罗尔中值定理的端点值相等条件。
      3 应用罗尔中值定理：
      由于$F(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$F(0)=F(1)$，根据罗尔中值定理可知，存在$\xi\in(0,1)$，使得$F^\prime(\xi)=0$。
      4 求辅助函数的导数并得出结论：
      对$F(x)=xf(x)$求导，根据乘积函数求导公式$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，这里$u = x$，$v = f(x)$，则$u^\prime = 1$，$v^\prime = f^\prime(x)$。
      所以$F^\prime(x)=f(x)+xf^\prime(x)$。
      因为存在$\xi\in(0,1)$使$F^\prime(\xi)=0$，将$x = \xi$代入$F^\prime(x)$可得$F^\prime(\xi)=f(\xi)+\xi f^\prime(\xi)=0$，即$\xi f^\prime(\xi)+f(\xi)=0$。