题目
4.求由参数方程 及二阶导数 dfrac {{d)^2y}(d{x)^2}
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算 $\dfrac{dx}{dt}$ 和 $\dfrac{dy}{dt}$
首先，我们需要计算参数方程中 $x$ 和 $y$ 对 $t$ 的导数。对于 $x=\ln(1+t^2)$，我们有：
$$\dfrac{dx}{dt} = \dfrac{d}{dt}[\ln(1+t^2)] = \dfrac{2t}{1+t^2}$$
对于 $y=t-\arctan t$，我们有：
$$\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{d}{dt}[t-\arctan t] = 1 - \dfrac{1}{1+t^2}$$
步骤 2：计算 $\dfrac{dy}{dx}$
根据链式法则，我们有：
$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} = \dfrac{1 - \dfrac{1}{1+t^2}}{\dfrac{2t}{1+t^2}} = \dfrac{1+t^2-1}{2t} = \dfrac{t^2}{2t} = \dfrac{t}{2}$$
步骤 3：计算 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$
为了计算二阶导数，我们需要对 $\dfrac{dy}{dx}$ 再次求导，但这次是对 $x$ 求导。根据链式法则，我们有：
$$\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dx}\right) = \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right) \cdot \dfrac{dt}{dx}$$
我们已经知道 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{t}{2}$，所以：
$$\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{t}{2}\right) = \dfrac{1}{2}$$
同时，$\dfrac{dt}{dx} = \dfrac{1}{\dfrac{dx}{dt}} = \dfrac{1+t^2}{2t}$，因此：
$$\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1+t^2}{2t} = \dfrac{1+t^2}{4t}$$
首先，我们需要计算参数方程中 $x$ 和 $y$ 对 $t$ 的导数。对于 $x=\ln(1+t^2)$，我们有：
$$\dfrac{dx}{dt} = \dfrac{d}{dt}[\ln(1+t^2)] = \dfrac{2t}{1+t^2}$$
对于 $y=t-\arctan t$，我们有：
$$\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{d}{dt}[t-\arctan t] = 1 - \dfrac{1}{1+t^2}$$
步骤 2：计算 $\dfrac{dy}{dx}$
根据链式法则，我们有：
$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} = \dfrac{1 - \dfrac{1}{1+t^2}}{\dfrac{2t}{1+t^2}} = \dfrac{1+t^2-1}{2t} = \dfrac{t^2}{2t} = \dfrac{t}{2}$$
步骤 3：计算 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$
为了计算二阶导数，我们需要对 $\dfrac{dy}{dx}$ 再次求导，但这次是对 $x$ 求导。根据链式法则，我们有：
$$\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dx}\right) = \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right) \cdot \dfrac{dt}{dx}$$
我们已经知道 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{t}{2}$，所以：
$$\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{t}{2}\right) = \dfrac{1}{2}$$
同时，$\dfrac{dt}{dx} = \dfrac{1}{\dfrac{dx}{dt}} = \dfrac{1+t^2}{2t}$，因此：
$$\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1+t^2}{2t} = \dfrac{1+t^2}{4t}$$