设系统[1]的初始状态为 x(0)，激励为 f(cdot)，各系统的全响应 y(cdot) 与激励和初始状态的关系如下，试分析各系统是否是线性的。(1) y(t) = e^-t x(0) + int_(0)^t sin x f(x) , dx(2) y(t) = f(t) x(0) + int_(0)^t f(x) , dx(3) y(t) = sin [x(0) t] + int_(0)^t f(x) , dx(4) y(k) = (0.5)^k x(0) + f(k) f(k-2)(5) y(k) = k x(0) + sum_(j=0)^k f(j)

线性系统需同时满足叠加性和齐次性。分析各系统时，需分别检验初始状态部分和激励部分是否为线性：

1. 初始状态部分：若初始状态$x(0)$的响应是线性的（如指数、线性函数），则满足齐次性；若出现非线性函数（如$\sin[x(0)t]$），则整体非线性。
2. 激励部分：若激励$f(\cdot)$的响应是线性变换（如积分、求和），则满足叠加性；若出现非线性操作（如$f(k)f(k-2)$），则整体非线性。

（1）$y(t) = e^{-t} x(0) + \int_{0}^{t} \sin x \, f(x) \, dx$

• 初始状态部分：$e^{-t} x(0)$ 是指数函数与$x(0)$的线性组合，满足齐次性。
• 激励部分：$\int_{0}^{t} \sin x \, f(x) \, dx$ 是$f(x)$与已知函数$\sin x$的线性积分，满足叠加性。
• 结论：线性系统。

（2）$y(t) = f(t) x(0) + \int_{0}^{t} f(x) \, dx$

• 初始状态部分：$f(t) x(0)$ 是$f(t)$与$x(0)$的乘积，破坏齐次性。
• 激励部分：$\int_{0}^{t} f(x) \, dx$ 是线性积分。
• 结论：非线性系统。

（3）$y(t) = \sin [x(0) t] + \int_{0}^{t} f(x) \, dx$

• 初始状态部分：$\sin [x(0) t]$ 是非线性函数，破坏齐次性。
• 激励部分：$\int_{0}^{t} f(x) \, dx$ 是线性积分。
• 结论：非线性系统。

（4）$y(k) = (0.5)^k x(0) + f(k) f(k-2)$

• 初始状态部分：$(0.5)^k x(0)$ 是线性指数函数。
• 激励部分：$f(k) f(k-2)$ 是$f(k)$的乘积，破坏叠加性。
• 结论：非线性系统。

（5）$y(k) = k x(0) + \sum_{j=0}^{k} f(j)$

• 初始状态部分：$k x(0)$ 是线性函数。
• 激励部分：$\sum_{j=0}^{k} f(j)$ 是线性求和。
• 结论：线性系统。