设连续型随机变量 X 的密度函数有 f(-x)= f(x)，F(x) 是 X 的分布函数，则下列成立的有(）A. F(-a)= F(a)B. F(-a)= (1)/(2) F(a)C. F(-a)= 1 - F(a)D. F(-a)= (1)/(2) - F(a)

本题考查连续型随机变量的分布函数性质，关键利用密度函数的对称性（偶函数）推导分布函数的关系。

核心知识点

1. 分布函数定义：$F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t)dt$，表示随机变量$X$落在区间$(-\infty, x]$的概率。
2. 偶函数性质：$f(-t) = f(t)$，即密度函数关于$y$轴对称。
3. 概率归一性：$\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)dt = 1$，即$P(X \in \mathbb{R}) = 1$。

推导过程

要计算$F(-a)$，根据定义：
$F(-a) = P(X \leq -a) = \int_{-\infty}^{-a} f(t)dt$

步骤1：换元简化积分
令$t = -s$，则$dt = -ds$，当$t = -\infty$时$s = +\infty$，$t = -a$时$s = a$，代入得：
$F(-a) = \int_{+\infty}^a f(-s)(-ds) = \int_{a}^{+\infty} f(s)ds$
（因$f(-s)=f(s)$，且积分上下限交换后负号抵消）

步骤2：利用概率归一性
$P(X \leq a) + P(X > a) = 1$
即$F(a) + \int_{a}^{+\infty} f(s)ds = 1$，故$\int_{a}^{+\infty} f(s)ds = 1 - F(a)$。

步骤3：结论
联立得$F(-a) = 1 - F(a)$。