题目

用平方差分解因式.(1) x^2 - 9;(2) x^2 - 16;(3) 4x^2 - 9;(4) 16x^2 - 81;(5) x^4 - 1.

用平方差分解因式. (1) $x^2 - 9$; (2) $x^2 - 16$; (3) $4x^2 - 9$; (4) $16x^2 - 81$; (5) $x^4 - 1$.

题目解答

答案

我们来逐题分析并用平方差公式分解因式。平方差公式是：

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

(1) $ x^2 - 9 $

  • 这是一个标准的平方差形式。
  • $ x^2 = a^2 $，$ 9 = 3^2 = b^2 $
  • 所以：

$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$

(2) $ x^2 - 16 $

  • $ x^2 = a^2 $，$ 16 = 4^2 = b^2 $
  • 所以：

$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$

(3) $ 4x^2 - 9 $

  • $ 4x^2 = (2x)^2 = a^2 $，$ 9 = 3^2 = b^2 $
  • 所以：

$4x^2 - 9 = (2x - 3)(2x + 3)$

(4) $ 16x^2 - 81 $

  • $ 16x^2 = (4x)^2 = a^2 $，$ 81 = 9^2 = b^2 $
  • 所以：

$16x^2 - 81 = (4x - 9)(4x + 9)$

(5) $ x^4 - 1 $

  • 注意：$ x^4 = (x^2)^2 $，$ 1 = 1^2 $
  • 所以：

$x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)$

  • 再观察 $ x^2 - 1 $，它也是一个平方差：

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

  • 所以最终分解为：

$x^4 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$

总结答案：

  1. $ x^2 - 9 = \boxed{(x - 3)(x + 3)} $

  2. $ x^2 - 16 = \boxed{(x - 4)(x + 4)} $

  3. $ 4x^2 - 9 = \boxed{(2x - 3)(2x + 3)} $

  4. $ 16x^2 - 81 = \boxed{(4x - 9)(4x + 9)} $

  5. $ x^4 - 1 = \boxed{(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)} $

解析

平方差公式是分解因式的重要工具，其形式为 $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$。本题的关键在于：

  1. 识别平方项：将题目中的两项分别表示为某个数或式的平方；
  2. 直接应用公式：若两项均为平方形式且符号相反，则直接分解；
  3. 多次分解：若分解后仍有平方差形式，需继续分解（如第5题）。

第（1）题

识别平方项：

  • $x^2$ 是 $x$ 的平方，即 $a = x$；
  • $9$ 是 $3^2$，即 $b = 3$。

应用公式：
$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$

第（2）题

识别平方项：

  • $x^2$ 是 $x$ 的平方，即 $a = x$；
  • $16$ 是 $4^2$，即 $b = 4$。

应用公式：
$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$

第（3）题

识别平方项：

  • $4x^2$ 是 $(2x)^2$，即 $a = 2x$；
  • $9$ 是 $3^2$，即 $b = 3$。

应用公式：
$4x^2 - 9 = (2x - 3)(2x + 3)$

第（4）题

识别平方项：

  • $16x^2$ 是 $(4x)^2$，即 $a = 4x$；
  • $81$ 是 $9^2$，即 $b = 9$。

应用公式：
$16x^2 - 81 = (4x - 9)(4x + 9)$

第（5）题

第一次分解：

  • $x^4$ 是 $(x^2)^2$，即 $a = x^2$；
  • $1$ 是 $1^2$，即 $b = 1$。
    $x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)$

第二次分解：

  • $x^2 - 1$ 仍为平方差形式，继续分解：
    $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

最终结果：
$x^4 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$