题目
9.求下列函数在给定点处的导数值:-|||-(1) =cos xsin x ,求 '(|)_(x)=dfrac (pi )(6) 和 '(|)_(x)=dfrac (pi )(4) ;
题目解答
答案
解析
步骤 1：求导
首先，我们对函数 $y=\cos x\sin x$ 求导。使用乘积法则，即 $(uv)'=u'v+uv'$，其中 $u=\cos x$ 和 $v=\sin x$。因此，$u'=-\sin x$ 和 $v'=\cos x$。所以，$y'=(\cos x)'(\sin x)+(\cos x)(\sin x)'=-\sin x\sin x+\cos x\cos x$。简化后得到 $y'=\cos^2 x-\sin^2 x$。
步骤 2：代入 $x=\dfrac{\pi}{6}$
将 $x=\dfrac{\pi}{6}$ 代入导数表达式 $y'=\cos^2 x-\sin^2 x$，得到 $y'{|}_{x=\dfrac{\pi}{6}}=\cos^2 \dfrac{\pi}{6}-\sin^2 \dfrac{\pi}{6}=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}$。
步骤 3：代入 $x=\dfrac{\pi}{4}$
将 $x=\dfrac{\pi}{4}$ 代入导数表达式 $y'=\cos^2 x-\sin^2 x$，得到 $y'{|}_{x=\dfrac{\pi}{4}}=\cos^2 \dfrac{\pi}{4}-\sin^2 \dfrac{\pi}{4}=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0$。
首先，我们对函数 $y=\cos x\sin x$ 求导。使用乘积法则，即 $(uv)'=u'v+uv'$，其中 $u=\cos x$ 和 $v=\sin x$。因此，$u'=-\sin x$ 和 $v'=\cos x$。所以，$y'=(\cos x)'(\sin x)+(\cos x)(\sin x)'=-\sin x\sin x+\cos x\cos x$。简化后得到 $y'=\cos^2 x-\sin^2 x$。
步骤 2：代入 $x=\dfrac{\pi}{6}$
将 $x=\dfrac{\pi}{6}$ 代入导数表达式 $y'=\cos^2 x-\sin^2 x$，得到 $y'{|}_{x=\dfrac{\pi}{6}}=\cos^2 \dfrac{\pi}{6}-\sin^2 \dfrac{\pi}{6}=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}$。
步骤 3：代入 $x=\dfrac{\pi}{4}$
将 $x=\dfrac{\pi}{4}$ 代入导数表达式 $y'=\cos^2 x-\sin^2 x$，得到 $y'{|}_{x=\dfrac{\pi}{4}}=\cos^2 \dfrac{\pi}{4}-\sin^2 \dfrac{\pi}{4}=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0$。