题目

计算函数极限(1)lim _(xarrow 1)dfrac (x-3)(x+2)(2)lim _(xarrow 1)dfrac (x-3)(x+2)(3)lim _(xarrow 1)dfrac (x-3)(x+2)(4)lim _(xarrow 1)dfrac (x-3)(x+2)(5)lim _(xarrow 1)dfrac (x-3)(x+2)(6)lim _(xarrow 1)dfrac (x-3)(x+2)(7)lim _(xarrow 1)dfrac (x-3)(x+2)(8)lim _(xarrow 1)dfrac (x-3)(x+2)(9)lim _(xarrow 1)dfrac (x-3)(x+2)(10)lim _(xarrow 1)dfrac (x-3)(x+2)(11)lim _(xarrow 1)dfrac (x-3)(x+2)(12)lim _(xarrow 1)dfrac (x-3)(x+2)

计算函数极限

(1) $\lim_{x\rightarrow1}\frac{x-3}{x+2}$

(2) $\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^3-1}{x^2-1}$

(3) $\lim_{x\rightarrow2}\frac{x^2-3x+2}{x^2-4}$

(4) $\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x-1}$

(5) $\lim_{x\rightarrow0}x\cos\frac{1}{x}$

(6) $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\tan^{-1}x}{x}$

(7) $\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^2+3x}{2x^2-1}$

(8) $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3x^2-2x+1}{x^2-1}$

(9) $\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos x}{\ln(1+x^2)}$

(10) $\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sin(x^2-1)}{x-1}$

(11) $\lim_{x\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{2x})^x$

(12) $\lim_{x\rightarrow\infty}(\frac{x+2}{x-1})^{2x}$

题目解答

答案

(1) $\lim_{x\rightarrow1}\frac{x-3}{x+2}=\frac{1-3}{1+2}=\frac{-2}{3}=-\frac{2}{3}$

(2) $\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^3-1}{x^2-1}=\frac{0-1}{0-1}=1$

(3) $\lim_{x\rightarrow2}\frac{x^2-3x+2}{x^2-4}=\lim_{x\rightarrow2}\frac{(x-1)(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\lim_{x\rightarrow2}\frac{x-1}{x+2}$

$=\frac{2-1}{2+2}=\frac{1}{4}$

(4) $\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{2})(\sqrt{x+1}+\sqrt{2})}{(x-1)(\sqrt{x+1}+\sqrt{2})}$

$=\lim_{x\rightarrow1}\frac{(x+1)-(2)}{(x-1)(\sqrt{x+1}+\sqrt{2})}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+1}+\sqrt{2})}$

$=\lim_{x\rightarrow1}\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$

(5)由于 $\lim_{x\rightarrow0}x=0$ ， $\lim_{x\rightarrow0}\cos\frac{1}{x}$ 为震荡不存在，

0 $\bullet$ 震荡不存在=0

因此 $\lim_{x\rightarrow0}x\cos\frac{1}{x}=0$

(6) $\lim_{x\rightarrow+\infty}\tan^{-1}x=1$ ,故 $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\tan^{-1}x}{x}=0$ ;

$\lim_{x\rightarrow-\infty}\tan^{-1}x=1$ ,故 $\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\tan^{-1}x}{x}=0$ 。

综上： $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\tan^{-1}x}{x}=0$

(7) $\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^2+3x}{2x^2-1}=\frac{0}{-1}=0$

(8) $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3x^2-2x+1}{x^2-1}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{(3x+1)(x-1)}{(x-1)(x+1)}$

$=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3x+1}{x+1}$

为 $\frac{\infty}{\infty}$ 的形式，运用洛必达定理，分式上下同时求导：

原式= $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3}{1}$ =3

综上所述： $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3x^2-2x+1}{x^2-1}=3$

(9)易知： $\lim_{x\rightarrow0}1-\cos x=0$ ， $\lim_{x\rightarrow0}{\ln(1+x^2)}=0$ .故原极限为 $\frac{0}{0}$ 的形式，运用洛必达定理，分式上下同时求导：

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos x}{\ln(1+x^2)}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{\frac{2x}{1+x^2}}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{(1+x^2)\sin x}{2x}$

又由于 $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=1$ ， $\lim_{x\rightarrow0}{1+x^2}=1$ ，故：

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{(1+x^2)\sin x}{2x}=\frac{1}{2}$ 。

综上所述： $\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos x}{\ln(1+x^2)}=\frac{1}{2}$

(10)易知： $\lim_{x\rightarrow1}{\sin(x^2-1)}=0$ ， $\lim_{x\rightarrow1}{x-1}=0$ 。故原极限为 $\frac{0}{0}$ 的形式，可运用洛必达定理，对分式上下同时求导：

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sin(x^2-1)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{(2x)\cos(x^2-1)}{1}$

又因为 $\lim_{x\rightarrow1}2x=2$ , $\lim_{x\rightarrow1}\cos(x^2-1)=\cos0=1$ ,

故 $\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sin(x^2-1)}{x-1}=\frac{2\times1}{1}=2$

(11)易知： $\lim_{x\rightarrow\infty}1-\frac{1}{2x}=1$ ， $\lim_{x\rightarrow\infty}x=\infty$ ，故原极限为 $1^{\infty}$ 的形式。

$\lim_{x\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{2x})^x=\lim_{x\rightarrow\infty}e^{\ln(1-\frac{1}{2x})^x}=\lim_{x\rightarrow\infty}e^{x\ln(1-\frac{1}{2x})}$

又 $\lim_{x\rightarrow\infty}{x\ln(1-\frac{1}{2x})}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\ln(1-\frac{1}{2x})}{\frac{1}{x}}$

令 $\frac{1}{\ x}=t$ ,则 $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\ln(1-\frac{1}{2x})}{\frac{1}{x}}=\lim_{t\rightarrow0}\frac{\ln(1-\frac{t}{2})}{t}$ ,

运用洛必达定理，对分式上下同时求导：

$\lim_{t\rightarrow0}\frac{\ln(1-\frac{t}{2})}{t}=\lim_{t\rightarrow0}\frac{-\frac{1}{2}}{1-\frac{t}{2}}=-\frac{1}{2}$

综上所述: $\lim_{x\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{2x})^x=e^{-\frac{1}{2}}$

(12)易知: $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x+2}{x-1}=1$ , $\lim_{x\rightarrow\infty}{2x}=\infty$ .故原极限为 $1^{\infty}$ 的形式。

$\lim_{x\rightarrow\infty}(\frac{x+2}{x-1})^{2x}=\lim_{x\rightarrow\infty}e^{\ln(\frac{x+2}{x-1})^{2x}}=\lim_{x\rightarrow\infty}e^{2x\ln(\frac{x+2}{x-1})}$

又 $\lim_{x\rightarrow\infty}x\ln(\frac{x+2}{x-1})=\lim_{x\rightarrow\infty}x\ln(\frac{x-1+3}{x-1})=\lim_{x\rightarrow\infty}x\ln(1+\frac{3}{x-1})$

运用等价无穷小的等价替换，由于当 $x\rightarrow\infty$ 时， $\ln(1+\frac{3}{x-1})\sim\frac{3}{x-1}$ ，

故 $\lim_{x\rightarrow\infty}x\ln(1+\frac{3}{x-1})=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3x}{x-1}=3$

综上所述: $\lim_{x\rightarrow\infty}(\frac{x+2}{x-1})^{2x}=e^{2\times3}=e^{6}$