有一半径为R的带电球体，其电荷体密度为rho=kr，这里k为一正的常量，而r代表球内任一点到球心的距离。若取无限远处为电势零点，则球外到球心的距离为r'的任意一点的电势为 [ ]。A. (kR^4)/(4epsilon_0r')B. (kR^4)/(3epsilon_0r')C. (kr'^3)/(4epsilon_0)D. (kR^4)/(4epsilon_0r'^2)

本题考查知识点为高斯定理以及电势的计算。解题思路是先根据高斯定理求出球外的电场强度，再利用电势的定义式通过积分计算出球外某点的电势。

1. 求带电球体的总电荷量 $Q$：
   • 采用微元法，在球内取一个半径为 $r$，厚度为 $dr$ 的薄球壳，其体积为 $dV = 4\pi r^{2}dr$。
   • 已知电荷体密度 $\rho=kr$，根据 $dQ=\rho dV$，可得该薄球壳所带电荷量为 $dQ = kr\times4\pi r^{2}dr=4\pi kr^{3}dr$。
   • 对 $dQ$ 从 $0$ 到 $R$ 积分，可得到整个带电球体的总电荷量 $Q$：
     • $Q=\int_{0}^{R}dQ=\int_{0}^{R}4\pi kr^{3}dr$。
     • 根据积分公式 $\int x^{n}dx=\frac{1}{n + 1}x^{n+1}+C(n\neq - 1)$，则 $Q = 4\pi k\int_{0}^{R}r^{3}dr=4\pi k\times\frac{1}{4}r^{4}\big|_{0}^{R}=\pi kR^{4}$。
2. 求球外的电场强度 $E$：
   • 根据高斯定理 $\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{enc}}{\epsilon_{0}}$，对于球外一点（$r'>R$），以球心为球心，$r'$ 为半径作高斯面。
   • 由于电场具有球对称性，$\vec{E}$ 与 $d\vec{S}$ 方向相同，$\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S}=E\oint_{S}dS = E\times4\pi r'^{2}$，且高斯面内的电荷量 $Q_{enc}=Q=\pi kR^{4}$。
   • 由高斯定理可得 $E\times4\pi r'^{2}=\frac{\pi kR^{4}}{\epsilon_{0}}$，解得 $E=\frac{kR^{4}}{4\epsilon_{0}r'^{2}}$。
3. 求球外到球心距离为 $r'$ 处的电势 $U$：
   • 根据电势的定义式 $U=\int_{r'}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{l}$，因为电场方向沿径向，$d\vec{l}=dr'\vec{e}_{r}$，$\vec{E}$ 与 $d\vec{l}$ 方向相同，所以 $U=\int_{r'}^{\infty}E dr'$。
   • 将 $E=\frac{kR^{4}}{4\epsilon_{0}r'^{2}}$ 代入上式，可得 $U=\int_{r'}^{\infty}\frac{kR^{4}}{4\epsilon_{0}r'^{2}}dr'$。
   • 根据积分公式 $\int x^{-2}dx=-\frac{1}{x}+C$，则 $U=\frac{kR^{4}}{4\epsilon_{0}}\int_{r'}^{\infty}r'^{-2}dr'=\frac{kR^{4}}{4\epsilon_{0}}\left(-\frac{1}{r'}\right)\big|_{r'}^{\infty}$。
   • 计算积分结果：$U=\frac{kR^{4}}{4\epsilon_{0}}\left(0+\frac{1}{r'}\right)=\frac{kR^{4}}{4\epsilon_{0}r'}$。