题目

8.10 一无限长圆柱形铜导体(磁导率μ0),半径-|||-为R,通有均匀分布的电流I.今取一矩形平面S(长为-|||-1m,宽为2R),位置如图中画斜线部分所示,求通过该-|||-矩形平面的磁通量.-|||-14-|||-s-|||-1m-|||-2R

题目解答

答案

解析

本题考查安培环路定理计算磁场分布及磁通量积分计算，关键是利用安培环路定理求出圆柱导体内外的磁场分布，再通过积分计算通过矩形平面的磁通量。

步骤1：用安培环路定理求磁场分布

无限长直圆柱导体通均匀电流$I$，电流密度$j=\frac{I}{\pi R^2}$。根据安培环路定理$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0 I_{\text{内}}$：

  • 导体内部（$r：$I_{\text{内}}=j\pi r^2=\frac{I r^2}{R^2}$，则$B\cdot 2\pi r=\mu_0 \frac{I r^2}{R^2}$，得$B_{\text{内}}=\frac{\mu_0 I r}{2\pi R^2}$（方向：环绕电流，垂直矩形平面）。
  • 导体外部（$r>R$）：$I_{\text{内}}=I$，则$B\cdot 2\pi r=\mu_0 I$，得$B_{\text{外}}=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}$（方向同上）。

步骤2：划分积分区域计算磁通量

矩形平面$S$（长$1\,\text{m}$，宽$2R$）沿径向分为两部分：

  1. 内部区域（$0\leq r\leq R$）：矩形宽度$dr$，面积元$dS=1\cdot dr$，磁通量$d\phi_1=B_{\text{内}}dS$，积分得：
    $\phi_1=\int_0^R \frac{\mu_0 I r}{2\pi R^2} dr=\frac{\mu_0 I}{2\pi R^2}\int_0^R r dr=\frac{\mu_0 I}{2\pi R^2}\cdot\frac{R^2}{2}=\frac{\mu_0 I}{4\pi}$

  2. 外部区域（$R\leq r\leq 2R$）：同理，$d\phi_2=B_{\text{外}}dS$，积分得：
    $\phi_2=\int_R^{2R} \frac{\mu_0 I}{2\pi r} dr=\frac{\mu_0 I}{2\pi}\int_R^{2R} \frac{1}{r} dr=\frac{\mu_0 I}{2\pi}\ln\left(\frac{2R}{R}\right)=\frac{\mu_0 I}{2\pi}\ln 2$

步骤3：总磁通量

$\phi=\phi_1+\phi_2=\frac{\mu_0 I}{4\pi}+\frac{\mu_0 I}{2\pi}\ln 2$。