题目
若z = x^3 + 6xy + y^3，则(partial z)/(partial x)|_{ x=1 y=2 = 10。（ ）正确 错误
若$z = x^3 + 6xy + y^3$，则$\frac{\partial z}{\partial x}|_{\begin{array}{c} x=1 \\ y=2 \end{array}} = 10$。（ ）
正确 错误
题目解答
答案
对函数 $ z = x^3 + 6xy + y^3 $ 关于 $ x $ 求偏导得：
$\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 + 6y$
代入 $ x = 1 $ 和 $ y = 2 $：
$\frac{\partial z}{\partial x} \bigg|_{x=1, y=2} = 3 \times 1^2 + 6 \times 2 = 3 + 12 = 15$
题目中给出的值为 10，与计算结果不符。
答案： 错误
$\boxed{\text{错误}}$
解析
本题考查多元函数偏导数的计算。解题思路是先根据求偏导数的规则求出函数$z = x^3 + 6xy + y^3$关于$x$的偏导数，再将$x = 1$，$y = 2$代入偏导数表达式中计算出具体值，最后与题目所给的值进行比较判断对错。
- 求$z$关于$x$的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$：
在求偏导数时，把$y$看作常数。
根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，对$z = x^3 + 6xy + y^3$中每一项分别求关于$x$的导数。- 对于$x^3$，其导数为$3x^{3 - 1}=3x^2$。
- 对于$6xy$，因为$y$看作常数，所以$(6xy)^\prime=6y$。
- 对于$y^3$，由于$y$是常数，所以$(y^3)^\prime = 0$。
因此，$\frac{\partial z}{\partial x}=3x^2 + 6y$。
- 将$x = 1$，$y = 2$代入$\frac{\partial z}{\partial x}$：
把$x = 1$，$y = 2$代入$\frac{\partial z}{\partial x}=3x^2 + 6y$可得：
$\frac{\partial z}{\partial x}\big|_{\begin{array}{c} x=1 \\ y=2 \end{array}} = 3\times1^2 + 6\times2$
$=3 + 12$
$= 15$ - 判断对错：
题目中给出$\frac{\partial z}{\partial x}\big|_{\begin{array}{c} x=1 \\ y=2 \end{array}} = 10$，而我们计算得出的值为$15$，两者不相等，所以该说法错误。