题目
1.求下列齐次方程的通解:-|||-(1) '-y-sqrt ({y)^2-(x)^2}=0;-|||-(2) dfrac (dy)(dx)=yln dfrac (y)(x);-|||-(3) ((x)^2+(y)^2)dx-xydy=0;-|||-(4) ((x)^3+(y)^3)dx-3x(y)^2dy=0;-|||-(5) (2xsin dfrac (y)(x)+3ycos dfrac (y)(x))dx-3xcos dfrac (y)(x)dy=0;-|||-(6) (1+2(e)^dfrac (x{y)})dx+2(e)^dfrac (x{y)}(1-dfrac (x)(y))dy=0.
题目解答
答案
解析
(1) $xy'-y-\sqrt {{y}^{2}-{x}^{2}}=0$;
步骤 1：令 $y = vx$，则 $y' = v + xv'$。
步骤 2：代入原方程，得到 $x(v + xv') - vx - \sqrt{(vx)^2 - x^2} = 0$。
步骤 3：化简得到 $x^2v' = \sqrt{v^2 - 1}$，分离变量得到 $\frac{dv}{\sqrt{v^2 - 1}} = \frac{dx}{x}$。
步骤 4：积分得到 $\ln|v + \sqrt{v^2 - 1}| = \ln|x| + C$，即 $v + \sqrt{v^2 - 1} = Cx$。
步骤 5：代回 $v = \frac{y}{x}$，得到 $y + \sqrt{y^2 - x^2} = Cx^2$。
【答案】
$y+\sqrt {{y}^{2}-{x}^{2}}=C{x}^{2}$
(2) $x\dfrac {dy}{dx}=y\ln \dfrac {y}{x}$ ;
步骤 1：令 $y = vx$，则 $y' = v + xv'$。
步骤 2：代入原方程，得到 $x(v + xv') = vx\ln v$。
步骤 3：化简得到 $xv' = v\ln v - v$，分离变量得到 $\frac{dv}{v(\ln v - 1)} = \frac{dx}{x}$。
步骤 4：积分得到 $\ln|\ln v - 1| = \ln|x| + C$，即 $\ln v - 1 = Cx$。
步骤 5：代回 $v = \frac{y}{x}$，得到 $\ln \frac{y}{x} = Cx + 1$。
【答案】
$\ln \dfrac {y}{x}=Cx+1$
(3) $({x}^{2}+{y}^{2})dx-xydy=0$;
步骤 1：令 $y = vx$，则 $y' = v + xv'$。
步骤 2：代入原方程，得到 $(x^2 + v^2x^2)dx - vx^2(v + xv')dx = 0$。
步骤 3：化简得到 $x^2(1 + v^2)dx - vx^3(1 + v')dx = 0$，分离变量得到 $\frac{1 + v^2}{v}dv = \frac{2dx}{x}$。
步骤 4：积分得到 $\ln|v| + \frac{v^2}{2} = 2\ln|x| + C$，即 $v^2 = 2\ln|x| + C$。
步骤 5：代回 $v = \frac{y}{x}$，得到 $y^2 = x^2(2\ln|x| + C)$。
步骤 1：令 $y = vx$，则 $y' = v + xv'$。
步骤 2：代入原方程，得到 $x(v + xv') - vx - \sqrt{(vx)^2 - x^2} = 0$。
步骤 3：化简得到 $x^2v' = \sqrt{v^2 - 1}$，分离变量得到 $\frac{dv}{\sqrt{v^2 - 1}} = \frac{dx}{x}$。
步骤 4：积分得到 $\ln|v + \sqrt{v^2 - 1}| = \ln|x| + C$，即 $v + \sqrt{v^2 - 1} = Cx$。
步骤 5：代回 $v = \frac{y}{x}$，得到 $y + \sqrt{y^2 - x^2} = Cx^2$。
【答案】
$y+\sqrt {{y}^{2}-{x}^{2}}=C{x}^{2}$
(2) $x\dfrac {dy}{dx}=y\ln \dfrac {y}{x}$ ;
步骤 1：令 $y = vx$，则 $y' = v + xv'$。
步骤 2：代入原方程，得到 $x(v + xv') = vx\ln v$。
步骤 3：化简得到 $xv' = v\ln v - v$，分离变量得到 $\frac{dv}{v(\ln v - 1)} = \frac{dx}{x}$。
步骤 4：积分得到 $\ln|\ln v - 1| = \ln|x| + C$，即 $\ln v - 1 = Cx$。
步骤 5：代回 $v = \frac{y}{x}$，得到 $\ln \frac{y}{x} = Cx + 1$。
【答案】
$\ln \dfrac {y}{x}=Cx+1$
(3) $({x}^{2}+{y}^{2})dx-xydy=0$;
步骤 1：令 $y = vx$，则 $y' = v + xv'$。
步骤 2：代入原方程，得到 $(x^2 + v^2x^2)dx - vx^2(v + xv')dx = 0$。
步骤 3：化简得到 $x^2(1 + v^2)dx - vx^3(1 + v')dx = 0$，分离变量得到 $\frac{1 + v^2}{v}dv = \frac{2dx}{x}$。
步骤 4：积分得到 $\ln|v| + \frac{v^2}{2} = 2\ln|x| + C$，即 $v^2 = 2\ln|x| + C$。
步骤 5：代回 $v = \frac{y}{x}$，得到 $y^2 = x^2(2\ln|x| + C)$。