题目
2.求极限lim_(xto0)(sin x-xcos x)/(sin^3)x((0)/(0))
2.求极限$\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x\cos x}{\sin^{3}x}(\frac{0}{0})$
题目解答
答案
当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$，$\cos x \sim 1$，$\sin^3 x \sim x^3$。
使用泰勒展开：
\[
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5), \quad \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)
\]
则
\[
\sin x - x \cos x = x - \frac{x^3}{6} - x + \frac{x^3}{2} + O(x^5) = \frac{x^3}{3} + O(x^5) \sim \frac{x^3}{3}
\]
因此
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x \cos x}{\sin^3 x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{3}}{x^3} = \frac{1}{3}
\]
或使用洛必达法则：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x \cos x}{\sin^3 x} = \lim_{x \to 0} \frac{x \sin x}{3 \sin^2 x \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{3 \sin x \cos x} = \frac{1}{3}
\]
答案：$\boxed{\frac{1}{3}}$
解析
本题考查函数极限的计算，解题思路可以使用等价无穷小替换结合泰勒泰勒展开，也可以使用洛必达法则来求解。
方法一：等价无穷小替换结合泰勒展开
- 步骤一：利用等价无穷小简化分母
当$x \to 0$时，$\sin x \sim x$，那么$\sin^{3}x \sim x^{3}$。 - **步骤二：对分子进行泰勒展开
已知$\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + O(x^{5})$，$\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2} + O(x^{4})$。
将其代入分子$\sin x - x\cos x$可得：
$\begin{align*}\sin x - x\cos x&=x - \frac{x^{3}}{6} - x(1 - \frac{x^{2}}{2} + O(x^{4}))\\&=x - \frac{x^{3}}{6} - x + \frac{x^{3}}{2} + O(x^{5})\\&=\frac{x^{3}}{3} + (x^{5})\end{align*}$
当$时，\(\frac{x^{3}}{3} + (x^{5})\sim\frac{x^{3}}{3}$。 - **步骤三：计算极限
将分子分母的等价无穷小代入原式可得：
$\lim_{x\to0}\frac{\sin x - x\cos x}{\sin^{3}x}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^{3}}{3}}{x^{3}}=\frac{1}{3}$
方法二：洛必达法则
- **步骤一：判断是否满足洛必达法则条件
已知原式$\lim_{x\to0}\frac{\sin x - x\cos x}{\sin^{3}x}$为$\frac{00$型，满足洛必达法则条件。 - **步骤二：对分子分母分别求导
根据求导公式$(\((\sin x)^\prime = \cos x$，$(x\cos x)^\prime = \cos x - x\sin x$，$(\sin^{3}x)^\prime = 3\sin^{2}x\cos x$。
则$\lim_{x\to0}\frac{\sin x - x\cos x}{\sin^{3}x}=\lim_{x\to0}\frac{(\sin x - x\cos x)^\prime}{(\sin^{3}x)^\prime}}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x - (\cos x - x\sin x)}{3\sin^{2}x\cos x}}=\lim_{x\to0frac{x\sin x}{3\sin^{2}x\cos x}}$ - **步骤三：化简并计算极限
约去分子分母分子的$\sin x$可得：
$\lim_{x\to0}\frac{x\sin x}{3\sin^{2}x\cos x}=\lim_{x\to0}\frac{x}{3\sin x\cos x}$
当$x\to0$时，$\sin x\sim x$，代入上式可得：
$\lim_{x\to0}\frac{x}{3\sin x\cos x}=\lim_{x\to0}\frac{x}{3x\cos x}=\frac{1}{3}$