(4)lim tan x-sin x

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是利用等价无穷小替换或泰勒展开处理三角函数差值的极限问题。

解题核心思路：当$x \rightarrow 0$时，$\tan x$和$\sin x$都可以用$x$的高阶展开式近似。通过展开到足够高的阶数，可以准确计算分子的主部，从而求出极限。

破题关键点：

1. 识别分子中的高阶小项：直接替换$\tan x \sim x$和$\sin x \sim x$会导致分子为0，但实际需要考虑更高阶的项才能正确计算差值。
2. 泰勒展开法：将$\tan x$和$\sin x$展开到$x^3$项，求差后得到分子的主部，再与分母$x$相除。

步骤1：泰勒展开
将$\tan x$和$\sin x$在$x=0$处展开到$x^3$项：
$\begin{aligned}\tan x &= x + \frac{x^3}{3} + o(x^3), \\\sin x &= x - \frac{x^3}{6} + o(x^3).\end{aligned}$

步骤2：计算分子差值
$\tan x - \sin x = \left(x + \frac{x^3}{3}\right) - \left(x - \frac{x^3}{6}\right) = \frac{x^3}{2} + o(x^3).$

步骤3：代入极限表达式
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan x - \sin x}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^3}{2} + o(x^3)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{x^2}{2} + o(x^2) \right) = 0.$