2.下列函数何处可导?何处解析?-|||-(1) (z)=(x)^2-iy ;-|||-(2) (z)=2(x)^3+3(y)^3i;-|||-(3) (z)=x(y)^2+i(x)^2y-|||-;(4) (z)=sin xchy+icos xshy.

本题主要考察复变函数的可导性与解析性，核心依据是柯西 - 黎曼（Cauchy - Riemann，C - R）方程及相关定理。复变函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$在点$z=x+iy$可导的必要条件是$u(x,y)$和$v(x,y)$在该点可微，且满足C - R方程：$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$，$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$；解析的定义是在区域内处处可导。

（1）$f(z)=x^2 - iy$

• 实部$u=x^2$，虚部$v=-y$
• 一阶偏导数：
  $\frac{\partial u}{\partial x}=2x$，$\frac{\partial u}{\partial y}=0$，$\frac{\partial v}{\partial x}=0$，$\frac{\partial v}{\partial y}=-1$
• C - R方程：要求$2x=-1$（即$x=-\frac{1}{2}$）且$0=0$，仅在直线$x=-\frac{1}{2}$上满足。
• 可导与解析：仅在直线$x=-\frac{1}{2}$上可导，但直线不是区域，故处处不解析。

（2）$f(z)=2x^3 + 3y^3$（注：原答案“$\sqrt{2}x\林\sqrt{3}y=0$”应为笔误，修正为$2x=3y$）

• 实部$u=2x^3$，虚部$v=3y^3$
• 一阶偏导数：
  $\frac{\partial u}{\partial x}=6x^2$，$\frac{\partial u}{\partial y}=0$，$\frac{\partial v}{\partial x}=0$，$\frac{\partial v}{\partial y}=9y^2$
• C - R方程：要求$6x^2=9y^2$（即$2x^2=3y^2$）且$0=0$，解得$y=\pm\frac{\sqrt{6}}{3}x$（两条直线）。
• 可导与解析：仅在两条直线上可导，非区域，故处处不解析。

（3）$f(z)=xy^2 + ix^2y$

• 实部$u=xy^2$，虚部$v=x^2y$
• 一阶偏导数：
  $\frac{\partial u}{\partial x}=y^2$，$\frac{\partial u}{\partial y}=2xy$，$\frac{\partial v}{\partial x}=2xy$，$\frac{\partial v}{\partial y}=x^2$
• C - R方程：要求$y^2=x^2$且$2xy=-2xy$，即$y=\pm x$且$xy=0$，仅交点$(0,0)$满足。
• 可导与解析：仅在原点$z=0$处可导，非区域，故处处不解析。

（4）$f(z)=\sin x\cosh y + i\cos x\sinh y$

• 实部$u=\sin x\cosh y$，虚部$v=\cos x\sinh y$
• 一阶偏导数：
  $\frac{\partial u}{\partial x}=\cos x\cosh y$，$\frac{\partial u}{\partial y}=\sin x\sinh y$，$\frac{\partial v}{\partial x}=-\sin x\sinh y$，$\frac{\partial v}{\partial y}=\cos x\cosh y$
• C - R方程：$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}=\cos x\cosh y$，$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}=\sin x\sinh y$，在全平面满足，且偏导数连续。
• 可导与解析：在复平面处处可导，处处解析。