题目
9.当x→0时, (x)=a(x)^3+bx 与 (x)=(int )_(0)^sin x((e)^(t^2)-1)dt 是等价无穷小,则 ()-|||-(A) =dfrac (1)(3) =1 (B) =3, b=0 (C) =dfrac (1)(3) =0 (D) =1, b=0 A
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定等价无穷小的条件
当x→0时，$f(x)=a{x}^{3}+bx$ 与 $g(x)={\int }_{0}^{\sin x}({e}^{{t}^{2}}-1)dt$ 是等价无穷小，意味着 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{g(x)}=1$。
步骤 2：计算 $g(x)$ 的极限
$g(x)={\int }_{0}^{\sin x}({e}^{{t}^{2}}-1)dt$，当x→0时，$\sin x\sim x$，因此 $g(x)\sim {\int }_{0}^{x}({e}^{{t}^{2}}-1)dt$。由于 ${e}^{{t}^{2}}-1\sim {t}^{2}$，所以 $g(x)\sim {\int }_{0}^{x}{t}^{2}dt=\dfrac {1}{3}{x}^{3}$。
步骤 3：计算 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{g(x)}$
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {a{x}^{3}+bx}{\dfrac {1}{3}{x}^{3}}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {3a{x}^{3}+3bx}{{x}^{3}}=3a+\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {3b}{{x}^{2}}$。要使 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{g(x)}=1$，则 $3a=1$ 且 $b=0$。
当x→0时，$f(x)=a{x}^{3}+bx$ 与 $g(x)={\int }_{0}^{\sin x}({e}^{{t}^{2}}-1)dt$ 是等价无穷小，意味着 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{g(x)}=1$。
步骤 2：计算 $g(x)$ 的极限
$g(x)={\int }_{0}^{\sin x}({e}^{{t}^{2}}-1)dt$，当x→0时，$\sin x\sim x$，因此 $g(x)\sim {\int }_{0}^{x}({e}^{{t}^{2}}-1)dt$。由于 ${e}^{{t}^{2}}-1\sim {t}^{2}$，所以 $g(x)\sim {\int }_{0}^{x}{t}^{2}dt=\dfrac {1}{3}{x}^{3}$。
步骤 3：计算 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{g(x)}$
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {a{x}^{3}+bx}{\dfrac {1}{3}{x}^{3}}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {3a{x}^{3}+3bx}{{x}^{3}}=3a+\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {3b}{{x}^{2}}$。要使 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{g(x)}=1$，则 $3a=1$ 且 $b=0$。