题目
20.设A为非空集合,定义 times A= (x,y)|x,yin A (其中(x,y)表示有序对),称 times A 的任意非空子集R-|||-为A上的一个关系.例如 = 0,1,2 时, times A 与((0,0),(2,1))都是A上的关系.设R为非空集合A上的关-|||-系.给出如下定义:①(自反性)若对任意 in A, 有 (x,x)in R, 则称R在A上是自反的;②(对称性)-|||-若对任意 (x,y)in R, 有 (y,x)in R, 则称R在A上是对称的;③(传递性)若对任意(x,y), (y,z)in R,-|||-有 (x,z)in R, 则称R在A上是传递的.如果A上关系R同时满足上述3条性质,则称R为A上的等价关系.-|||-任给集合S1,S2,·,Sn,定义S1∪S2∪···U Sm为 (x|x∈S1,或x∈S2,或···,或x∈Sm)-|||-(1)若 = 0,1,2 , 问:A上关系有多少个?A上等价关系有多少个?(不必说明理由)-|||-(2)若集合A有n个元素 (n≥1), A的非空子集A1,A2,··, _(m)(1leqslant mleqslant n) 两两交集为空集,且-|||-=(A)_(1)cup (A)_(2)cup ... (A)_(m), 求证: =((A)_(1)times (A)_(1))V((A)_(2)times (A)_(2))V... V((A)_(m)times (A)_(m)) 为A上的等价关系.-|||-(3)若集合A有n个元素 (n≥1), 问:对A上的任意等价关系R,是否存在A的非空子集-|||-A1,A2,···, _(m)(1leqslant mleqslant n), 其中任意两个交集为空集,且 =(A)_(1)cup (A)_(2)cup ... (A)_(n) 使得-|||-=((A)_(1)times (A)_(1))V((A)_(2)times (A)_(2))V... V((A)_(m)times (A)_(n))? 请判断并说明理由.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算A上关系的个数
集合A有3个元素，所以 $A\times A$ 有 $3\times 3=9$ 个元素。A上的关系是 $A\times A$ 的非空子集，所以A上关系的个数为 $2^9-1=511$ 个。
步骤 2：计算A上等价关系的个数
A上等价关系的个数可以通过计算A的划分的个数来确定。A有3个元素，所以A的划分有5种，即：{0,1,2}，{0},{1,2}，{1},{0,2}，{2},{0,1}，{0},{1},{2}。因此，A上等价关系的个数为5个。
步骤 3：证明R为A上的等价关系
首先，证明R是自反的。因为对于任意 $x\in A$，存在某个 $i$ 使得 $x\in A_i$，所以 $(x,x)\in A_i\times A_i\subseteq R$，因此R是自反的。
其次，证明R是对称的。对于任意 $(x,y)\in R$，存在某个 $i$ 使得 $(x,y)\in A_i\times A_i$，所以 $(y,x)\in A_i\times A_i\subseteq R$，因此R是对称的。
最后，证明R是传递的。对于任意 $(x,y),(y,z)\in R$，存在某个 $i$ 使得 $(x,y)\in A_i\times A_i$ 和 $(y,z)\in A_i\times A_i$，所以 $(x,z)\in A_i\times A_i\subseteq R$，因此R是传递的。
综上所述，R为A上的等价关系。
步骤 4：判断并说明理由
对于A上的任意等价关系R，存在A的非空子集A1,A2,···,Am(1≤m≤n)，其中任意两个交集为空集，且A=A1∪A2∪···∪Am，使得R=(A1×A1)∪(A2×A2)∪···∪(Am×Am)。这是因为等价关系R将A划分成若干个等价类，每个等价类对应一个非空子集Ai，且这些等价类两两交集为空集，且A=A1∪A2∪···∪Am。因此，R=(A1×A1)∪(A2×A2)∪···∪(Am×Am)。
集合A有3个元素，所以 $A\times A$ 有 $3\times 3=9$ 个元素。A上的关系是 $A\times A$ 的非空子集，所以A上关系的个数为 $2^9-1=511$ 个。
步骤 2：计算A上等价关系的个数
A上等价关系的个数可以通过计算A的划分的个数来确定。A有3个元素，所以A的划分有5种，即：{0,1,2}，{0},{1,2}，{1},{0,2}，{2},{0,1}，{0},{1},{2}。因此，A上等价关系的个数为5个。
步骤 3：证明R为A上的等价关系
首先，证明R是自反的。因为对于任意 $x\in A$，存在某个 $i$ 使得 $x\in A_i$，所以 $(x,x)\in A_i\times A_i\subseteq R$，因此R是自反的。
其次，证明R是对称的。对于任意 $(x,y)\in R$，存在某个 $i$ 使得 $(x,y)\in A_i\times A_i$，所以 $(y,x)\in A_i\times A_i\subseteq R$，因此R是对称的。
最后，证明R是传递的。对于任意 $(x,y),(y,z)\in R$，存在某个 $i$ 使得 $(x,y)\in A_i\times A_i$ 和 $(y,z)\in A_i\times A_i$，所以 $(x,z)\in A_i\times A_i\subseteq R$，因此R是传递的。
综上所述，R为A上的等价关系。
步骤 4：判断并说明理由
对于A上的任意等价关系R，存在A的非空子集A1,A2,···,Am(1≤m≤n)，其中任意两个交集为空集，且A=A1∪A2∪···∪Am，使得R=(A1×A1)∪(A2×A2)∪···∪(Am×Am)。这是因为等价关系R将A划分成若干个等价类，每个等价类对应一个非空子集Ai，且这些等价类两两交集为空集，且A=A1∪A2∪···∪Am。因此，R=(A1×A1)∪(A2×A2)∪···∪(Am×Am)。