题目
f(x,y)=axy^2+axy (a >0)在点(1,-1)处的梯度()。 A. 与i反向B. 与j同向C. 与i同向D. 与j反向
$$ f(x,y)=axy^{2}+axy (a >0)在点(1,-1)处的梯度()。 $$
A. 与i反向
B. 与j同向
C. 与i同向
D. 与j反向
题目解答
答案
D. 与j反向
解析
步骤 1：计算偏导数
首先，我们需要计算函数$f(x,y)=axy^{2}+axy$在点$(1,-1)$处的偏导数。偏导数是函数在某一点处沿坐标轴方向的变化率。
- 对于$x$的偏导数，我们有$\frac{\partial f}{\partial x} = ay^{2} + ay$。
- 对于$y$的偏导数，我们有$\frac{\partial f}{\partial y} = 2axy + ax$。
步骤 2：计算梯度
梯度是一个向量，其分量是函数在该点处的偏导数。因此，梯度$\nabla f(x,y)$在点$(1,-1)$处为：
- $\nabla f(1,-1) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)_{(1,-1)} = (a(-1)^{2} + a(-1), 2a(1)(-1) + a(1)) = (a - a, -2a + a) = (0, -a)$。
步骤 3：确定梯度方向
由于$a > 0$，梯度$\nabla f(1,-1) = (0, -a)$指向$y$轴的负方向，即与$y$轴的单位向量$j$反向。
首先，我们需要计算函数$f(x,y)=axy^{2}+axy$在点$(1,-1)$处的偏导数。偏导数是函数在某一点处沿坐标轴方向的变化率。
- 对于$x$的偏导数，我们有$\frac{\partial f}{\partial x} = ay^{2} + ay$。
- 对于$y$的偏导数，我们有$\frac{\partial f}{\partial y} = 2axy + ax$。
步骤 2：计算梯度
梯度是一个向量，其分量是函数在该点处的偏导数。因此，梯度$\nabla f(x,y)$在点$(1,-1)$处为：
- $\nabla f(1,-1) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)_{(1,-1)} = (a(-1)^{2} + a(-1), 2a(1)(-1) + a(1)) = (a - a, -2a + a) = (0, -a)$。
步骤 3：确定梯度方向
由于$a > 0$，梯度$\nabla f(1,-1) = (0, -a)$指向$y$轴的负方向，即与$y$轴的单位向量$j$反向。