题目

多项选择题(本题为多选题,建议选择两个以上选项)求函数y=x^4-2x^2+5在[0,2]上的最小值和最大值()。A 最大值:10B 最大值:13C 最小值:4D 最小值:5

多项选择题(本题为多选题,建议选择两个以上选项) 求函数$y=x^{4}-2x^{2}+5$在[0,2]上的最小值和最大值()。 A 最大值:10 B 最大值:13 C 最小值:4 D 最小值:5

题目解答

答案

求函数 $ y = x^4 - 2x^2 + 5 $ 在区间 $[0, 2]$ 上的最值。

  1. 求导数：
    $ y' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x - 1)(x + 1) $。

  2. 找临界点：
    令 $ y' = 0 $，得 $ x = 0 $，$ x = 1 $，$ x = -1 $。
    由于 $ x = -1 $ 不在区间 $[0, 2]$ 内，故舍去。剩余临界点为 $ x = 0 $ 和 $ x = 1 $。

  3. 计算函数值：

    • 当 $ x = 0 $ 时，$ y = 5 $；
    • 当 $ x = 1 $ 时，$ y = 1^4 - 2 \times 1^2 + 5 = 4 $；
    • 当 $ x = 2 $ 时，$ y = 2^4 - 2 \times 2^2 + 5 = 16 - 8 + 5 = 13 $。

  4. 确定最值：

    • 最大值为 $ 13 $（在 $ x = 2 $ 处）；
    • 最小值为 $ 4 $（在 $ x = 1 $ 处）。

答案：
最大值：13（选项 B）
最小值：4（选项 C）

$\boxed{BC}$