题目
(2023·全国新课标Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥-|||-被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为-|||-2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为 __ .
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算原正四棱锥的体积
原正四棱锥的底面边长为4，设其高为h。由于截去的正四棱锥的高为3，因此原正四棱锥的高为h=3+H，其中H为截去后剩余部分的高。原正四棱锥的体积V1可以用公式V1 = (1/3) * a^2 * h计算，其中a为底面边长，h为高。因此，V1 = (1/3) * 4^2 * (3+H)。
步骤 2：计算截去的正四棱锥的体积
截去的正四棱锥的底面边长为2，高为3。其体积V2可以用公式V2 = (1/3) * a^2 * h计算，其中a为底面边长，h为高。因此，V2 = (1/3) * 2^2 * 3 = 4。
步骤 3：计算所得棱台的体积
所得棱台的体积V可以用原正四棱锥的体积减去截去的正四棱锥的体积计算，即V = V1 - V2。由于V1 = (1/3) * 4^2 * (3+H)，V2 = 4，因此V = (1/3) * 4^2 * (3+H) - 4。由于截去的正四棱锥的高为3，因此H = 3，所以V = (1/3) * 4^2 * (3+3) - 4 = (1/3) * 16 * 6 - 4 = 32 - 4 = 28。
原正四棱锥的底面边长为4，设其高为h。由于截去的正四棱锥的高为3，因此原正四棱锥的高为h=3+H，其中H为截去后剩余部分的高。原正四棱锥的体积V1可以用公式V1 = (1/3) * a^2 * h计算，其中a为底面边长，h为高。因此，V1 = (1/3) * 4^2 * (3+H)。
步骤 2：计算截去的正四棱锥的体积
截去的正四棱锥的底面边长为2，高为3。其体积V2可以用公式V2 = (1/3) * a^2 * h计算，其中a为底面边长，h为高。因此，V2 = (1/3) * 2^2 * 3 = 4。
步骤 3：计算所得棱台的体积
所得棱台的体积V可以用原正四棱锥的体积减去截去的正四棱锥的体积计算，即V = V1 - V2。由于V1 = (1/3) * 4^2 * (3+H)，V2 = 4，因此V = (1/3) * 4^2 * (3+H) - 4。由于截去的正四棱锥的高为3，因此H = 3，所以V = (1/3) * 4^2 * (3+3) - 4 = (1/3) * 16 * 6 - 4 = 32 - 4 = 28。