题目
设随机变量X在(1,6)上服从均匀分布,则方程x2+Xx+1=0有实根的概率为()。A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/5
设随机变量X在(1,6)上服从均匀分布,则方程x2+Xx+1=0有实根的概率为()。
A. 1/5
B. 2/5
C. 3/5
D. 4/5
题目解答
答案
D. 4/5
解析
步骤 1：确定方程有实根的条件
方程 \(x^2 + Xx + 1 = 0\) 有实根的条件是判别式 \(\Delta \geq 0\)。判别式 \(\Delta = X^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = X^2 - 4\)。因此，方程有实根的条件是 \(X^2 - 4 \geq 0\)，即 \(X^2 \geq 4\)，从而 \(X \geq 2\) 或 \(X \leq -2\)。由于 \(X\) 在 \((1, 6)\) 上服从均匀分布，所以 \(X \leq -2\) 不成立，因此 \(X \geq 2\)。
步骤 2：计算概率
\(X\) 在 \((1, 6)\) 上服从均匀分布，所以 \(X\) 的概率密度函数为 \(f(x) = \frac{1}{6-1} = \frac{1}{5}\)。因此，\(X \geq 2\) 的概率为 \(\int_{2}^{6} \frac{1}{5} dx = \frac{1}{5} \times (6-2) = \frac{4}{5}\)。
方程 \(x^2 + Xx + 1 = 0\) 有实根的条件是判别式 \(\Delta \geq 0\)。判别式 \(\Delta = X^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = X^2 - 4\)。因此，方程有实根的条件是 \(X^2 - 4 \geq 0\)，即 \(X^2 \geq 4\)，从而 \(X \geq 2\) 或 \(X \leq -2\)。由于 \(X\) 在 \((1, 6)\) 上服从均匀分布，所以 \(X \leq -2\) 不成立，因此 \(X \geq 2\)。
步骤 2：计算概率
\(X\) 在 \((1, 6)\) 上服从均匀分布，所以 \(X\) 的概率密度函数为 \(f(x) = \frac{1}{6-1} = \frac{1}{5}\)。因此，\(X \geq 2\) 的概率为 \(\int_{2}^{6} \frac{1}{5} dx = \frac{1}{5} \times (6-2) = \frac{4}{5}\)。