题目
已知函数f（x）=ex-a（x+2）．（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
已知函数f（x）=ex-a（x+2）．
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
题目解答
答案
解：（1）当a=1时，f（x）=ex-（x+2），f′（x）=ex-1，
令f′（x）＜0，解得x＜0，令f′（x）＞0，解得x＞0，
所以f（x）的减区间为（-∞，0），增区间为（0，+∞）；
（2）若f（x）有两个零点，即ex-a（x+2）=0有两个解，
从方程可知，x=-2不成立，即$a=\frac{{{e^x}}}{{x+2}}$有两个解，
令$h（x）=\frac{{{e^x}}}{{x+2}}（x≠-2）$，则有${h'}（x）=\frac{{{e^x}（x+2）-{e^x}}}{{{{（x+2）}^2}}}=\frac{{{e^x}（x+1）}}{{{{（x+2）}^2}}}$，
令h′（x）＞0，解得x＞-1，令h′（x）＜0，解得x＜-2或-2＜x＜-1，
所以函数h（x）在（-∞，-2）和（-2，-1）上单调递减，在（-1，+∞）上单调递增，
且当x＜-2时，h（x）＜0，
而x→-2+时，h（x）→+∞，当x→+∞时，h（x）→+∞，
所以当$a=\frac{{{e^x}}}{{x+2}}$有两个解时，a＞h（-1）=$\frac{1}{e}$，
所以满足条件的a的取值范围是：$（\frac{1}{e}，+∞）$．
令f′（x）＜0，解得x＜0，令f′（x）＞0，解得x＞0，
所以f（x）的减区间为（-∞，0），增区间为（0，+∞）；
（2）若f（x）有两个零点，即ex-a（x+2）=0有两个解，
从方程可知，x=-2不成立，即$a=\frac{{{e^x}}}{{x+2}}$有两个解，
令$h（x）=\frac{{{e^x}}}{{x+2}}（x≠-2）$，则有${h'}（x）=\frac{{{e^x}（x+2）-{e^x}}}{{{{（x+2）}^2}}}=\frac{{{e^x}（x+1）}}{{{{（x+2）}^2}}}$，
令h′（x）＞0，解得x＞-1，令h′（x）＜0，解得x＜-2或-2＜x＜-1，
所以函数h（x）在（-∞，-2）和（-2，-1）上单调递减，在（-1，+∞）上单调递增，
且当x＜-2时，h（x）＜0，
而x→-2+时，h（x）→+∞，当x→+∞时，h（x）→+∞，
所以当$a=\frac{{{e^x}}}{{x+2}}$有两个解时，a＞h（-1）=$\frac{1}{e}$，
所以满足条件的a的取值范围是：$（\frac{1}{e}，+∞）$．
解析
步骤 1：求导数
当a=1时，函数f（x）=e^{x}-（x+2），求导得f′（x）=e^{x}-1。
步骤 2：确定单调区间
令f′（x）＜0，解得x＜0，此时f（x）单调递减；令f′（x）＞0，解得x＞0，此时f（x）单调递增。
步骤 3：求解a的取值范围
若f（x）有两个零点，即e^{x}-a（x+2）=0有两个解，即$a=\frac{{{e^x}}}{{x+2}}$有两个解。令$h（x）=\frac{{{e^x}}}{{x+2}}（x≠-2）$，求导得${h'}（x）=\frac{{{e^x}（x+2）-{e^x}}}{{{{（x+2）}^2}}}=\frac{{{e^x}（x+1）}}{{{{（x+2）}^2}}}$。令h′（x）＞0，解得x＞-1，令h′（x）＜0，解得x＜-2或-2＜x＜-1。所以函数h（x）在（-∞，-2）和（-2，-1）上单调递减，在（-1，+∞）上单调递增。且当x＜-2时，h（x）＜0，而x→-2^{+}时，h（x）→+∞，当x→+∞时，h（x）→+∞。所以当$a=\frac{{{e^x}}}{{x+2}}$有两个解时，a＞h（-1）=$\frac{1}{e}$。
当a=1时，函数f（x）=e^{x}-（x+2），求导得f′（x）=e^{x}-1。
步骤 2：确定单调区间
令f′（x）＜0，解得x＜0，此时f（x）单调递减；令f′（x）＞0，解得x＞0，此时f（x）单调递增。
步骤 3：求解a的取值范围
若f（x）有两个零点，即e^{x}-a（x+2）=0有两个解，即$a=\frac{{{e^x}}}{{x+2}}$有两个解。令$h（x）=\frac{{{e^x}}}{{x+2}}（x≠-2）$，求导得${h'}（x）=\frac{{{e^x}（x+2）-{e^x}}}{{{{（x+2）}^2}}}=\frac{{{e^x}（x+1）}}{{{{（x+2）}^2}}}$。令h′（x）＞0，解得x＞-1，令h′（x）＜0，解得x＜-2或-2＜x＜-1。所以函数h（x）在（-∞，-2）和（-2，-1）上单调递减，在（-1，+∞）上单调递增。且当x＜-2时，h（x）＜0，而x→-2^{+}时，h（x）→+∞，当x→+∞时，h（x）→+∞。所以当$a=\frac{{{e^x}}}{{x+2}}$有两个解时，a＞h（-1）=$\frac{1}{e}$。