下列各函数中是随机变量分布函数的为()。A. F(x)= (1)/(1 + x^2), -infty B. F(x)= } 0 & x D. F(x)= (3)/(4) + (1)/(2pi) arctan x, -infty

分布函数的判断核心在于四个条件：

1. 非递减性：函数整体不减；
2. 右连续性：任意点右极限等于函数值；
3. 极限条件：$\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$，$\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$；
4. 值域：$0 \leq F(x) \leq 1$。

破题关键：

• 排除法：优先检查极限条件是否满足，再验证非递减性和值域；
• 导数符号：通过导数判断函数是否非递减；
• 分段函数细节：注意分段点的连续性和导数是否存在突变。

选项分析

选项A

$F(x) = \frac{1}{1 + x^2}$

1. 极限条件：
   • $\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$，但 $\lim_{x \to +\infty} F(x) = 0 \neq 1$，不满足极限条件。
2. 非递减性：
   • 导数 $F'(x) = -\frac{2x}{(1 + x^2)^2}$，当 $x > 0$ 时，$F'(x) < 0$，函数递减，不满足非递减性。

选项B

$F(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ \frac{x}{1 + x} & x \geq 0 \end{cases}$

1. 极限条件：
   • $\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$，$\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$，满足。
2. 非递减性：
   • $x \geq 0$ 时，导数 $F'(x) = \frac{1}{(1 + x)^2} > 0$；$x < 0$ 时导数为 $0$，整体非递减。
3. 值域：
   • $x \geq 0$ 时，$F(x) \in [0, 1)$，满足。
4. 右连续性：
   • $x = 0$ 处，右极限 $\lim_{x \to 0^+} F(x) = 0 = F(0)$，右连续。

选项C

$F(x) = e^{-x}$

1. 极限条件：
   • $\lim_{x \to +\infty} F(x) = 0 \neq 1$，不满足。
2. 非递减性：
   • 导数 $F'(x) = -e^{-x} < 0$，函数递减，不满足非递减性。

选项D

$F(x) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2\pi} \arctan x$

1. 极限条件：
   • $\lim_{x \to -\infty} F(x) = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \neq 0$，不满足。
2. 非递减性：
   • 导数 $F'(x) = \frac{1}{2\pi(1 + x^2)} > 0$，非递减，但极限条件不满足。