题目
5.计算下列各导数:-|||-(3) dfrac (d)(dx)(int )_(sin x)^cos xcos (pi (t)^2)dt .
题目解答
答案
解析
步骤 1：应用微积分基本定理
根据微积分基本定理，若 $F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$，则 $F'(x) = f(x)$。对于给定的积分 $\int_{\sin x}^{\cos x} \cos(\pi t^2) dt$，我们首先需要将其转换为一个可以应用基本定理的形式。为此，我们引入一个辅助函数 $G(x) = \int_{0}^{x} \cos(\pi t^2) dt$，则原积分可以表示为 $G(\cos x) - G(\sin x)$。
步骤 2：求导
根据链式法则，对 $G(\cos x) - G(\sin x)$ 求导，得到 $\frac{d}{dx} [G(\cos x) - G(\sin x)] = G'(\cos x) \cdot (-\sin x) - G'(\sin x) \cdot \cos x$。由于 $G'(x) = \cos(\pi x^2)$，代入得到 $\frac{d}{dx} [G(\cos x) - G(\sin x)] = -\sin x \cos(\pi \cos^2 x) - \cos x \cos(\pi \sin^2 x)$。
步骤 3：化简
注意到 $\cos(\pi \cos^2 x) = -\cos(\pi \sin^2 x)$，因此原式可以化简为 $-\sin x \cos(\pi \cos^2 x) - \cos x \cos(\pi \sin^2 x) = (\sin x - \cos x) \cos(\pi \sin^2 x)$。
根据微积分基本定理，若 $F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$，则 $F'(x) = f(x)$。对于给定的积分 $\int_{\sin x}^{\cos x} \cos(\pi t^2) dt$，我们首先需要将其转换为一个可以应用基本定理的形式。为此，我们引入一个辅助函数 $G(x) = \int_{0}^{x} \cos(\pi t^2) dt$，则原积分可以表示为 $G(\cos x) - G(\sin x)$。
步骤 2：求导
根据链式法则，对 $G(\cos x) - G(\sin x)$ 求导，得到 $\frac{d}{dx} [G(\cos x) - G(\sin x)] = G'(\cos x) \cdot (-\sin x) - G'(\sin x) \cdot \cos x$。由于 $G'(x) = \cos(\pi x^2)$，代入得到 $\frac{d}{dx} [G(\cos x) - G(\sin x)] = -\sin x \cos(\pi \cos^2 x) - \cos x \cos(\pi \sin^2 x)$。
步骤 3：化简
注意到 $\cos(\pi \cos^2 x) = -\cos(\pi \sin^2 x)$，因此原式可以化简为 $-\sin x \cos(\pi \cos^2 x) - \cos x \cos(\pi \sin^2 x) = (\sin x - \cos x) \cos(\pi \sin^2 x)$。