题目
已知函数 f(x)=cos(2x+varphi)(0leqvarphi<pi)，f(0)=(1)/(2)。(1) 求 varphi；(2) 设函数 g(x)=f(x)+f(x-(pi)/(6))，求 g(x) 值域和单调区间。
已知函数 $f(x)=\cos(2x+\varphi)(0\leq\varphi<\pi)$，$f(0)=\frac{1}{2}$。 (1) 求 $\varphi$； (2) 设函数 $g(x)=f(x)+f\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$，求 $g(x)$ 值域和单调区间。
题目解答
答案
我们来逐步解决这个题目。
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### 已知函数：
$$
f(x) = \cos(2x + \varphi), \quad 0 \leq \varphi < \pi
$$
并且：
$$
f(0) = \frac{1}{2}
$$
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## 第(1)问：求 $\varphi$
### 解题思路：
我们知道：
$$
f(0) = \cos(2 \cdot 0 + \varphi) = \cos(\varphi)
$$
又因为：
$$
f(0) = \frac{1}{2}
$$
所以：
$$
\cos(\varphi) = \frac{1}{2}
$$
### 解这个方程：
在区间 $0 \leq \varphi < \pi$ 内，$\cos(\varphi) = \frac{1}{2}$ 的解是：
$$
\varphi = \frac{\pi}{3}
$$
因为：
$$
\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}
$$
✅ **第(1)问答案：**
$$
\boxed{\varphi = \frac{\pi}{3}}
$$
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## 第(2)问：设函数 $g(x) = f(x) + f\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$，求 $g(x)$ 的值域和单调区间。
我们已经知道：
$$
f(x) = \cos(2x + \varphi) = \cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)
$$
所以：
$$
g(x) = f(x) + f\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) + \cos\left(2(x - \frac{\pi}{6}) + \frac{\pi}{3}\right)
$$
化简第二个余弦项：
$$
2(x - \frac{\pi}{6}) + \frac{\pi}{3} = 2x - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 2x
$$
所以：
$$
g(x) = \cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) + \cos(2x)
$$
---
### 1. 求值域
我们有：
$$
g(x) = \cos(2x) + \cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)
$$
利用余弦和公式：
$$
\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)
$$
令：
- $A = 2x$
- $B = 2x + \frac{\pi}{3}$
则：
$$
g(x) = 2 \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)
$$
由于 $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$，所以：
$$
g(x) = 2 \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)
$$
$$
\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}
$$
所以：
$$
g(x) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)
$$
因此，$g(x)$ 是一个振幅为 $\sqrt{3}$ 的余弦函数。
### 值域：
$$
g(x) = \sqrt{3} \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)
$$
因为 $\cos(\theta) \in [-1, 1]$，所以：
$$
g(x) \in [-\sqrt{3}, \sqrt{3}]
$$
✅ **值域：**
$$
\boxed{[-\sqrt{3}, \sqrt{3}]}
$$
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### 2. 求单调区间
我们有：
$$
g(x) = \sqrt{3} \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)
$$
令：
$$
\theta = 2x + \frac{\pi}{6}
$$
那么 $g(x) = \sqrt{3} \cos(\theta)$，而 $\theta = 2x + \frac{\pi}{6}$ 是关于 $x$ 的一次函数。
我们知道 $\cos(\theta)$ 在以下区间单调递减和递增：
- 递减区间：$\theta \in [2k\pi, 2k\pi + \pi]$
- 递增区间：$\theta \in [2k\pi + \pi, 2k\pi + 2\pi]$
我们解出对应的 $x$ 区间：
#### 递减区间：
$$
2x + \frac{\pi}{6} \in [2k\pi, 2k\pi + \pi] \Rightarrow x \in \left[k\pi - \frac{\pi}{12}, k\pi + \frac{5\pi}{12}\right]
$$
#### 递增区间：
$$
2x + \frac{\pi}{6} \in [2k\pi + \pi, 2k\pi + 2\pi] \Rightarrow x \in \left[k\pi + \frac{5\pi}{12}, k\pi + \frac{11\pi}{12}\right]
$$
✅ **单调区间：**
- 递减区间：$\boxed{\left[k\pi - \frac{\pi}{12}, k\pi + \frac{5\pi}{12}\right]}$
- 递增区间：$\boxed{\left[k\pi + \frac{5\pi}{12}, k\pi + \frac{11\pi}{12}\right]}$
其中 $k \in \mathbb{Z}$
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## ✅ 最终答案总结：
### (1) $\boxed{\varphi = \frac{\pi}{3}}$
### (2)
- **值域：** $\boxed{[-\sqrt{3}, \sqrt{3}]}$
- **单调区间：**
- 递减区间：$\boxed{\left[k\pi - \frac{\pi}{12}, k\pi + \frac{5\pi}{12}\right]}$
- 递增区间：$\boxed{\left[k\pi + \frac{5\pi}{12}, k\pi + \frac{11\pi}{12}\right]}$，其中 $k \in \mathbb{Z}$
解析
考查要点：本题主要考查三角函数的性质及函数合成后的分析能力。
解题思路：
- 第（1）问：利用已知条件$f(0)=\frac{1}{2}$，代入函数表达式，结合余弦函数的特殊值求解$\varphi$。
- 第（2）问：将$g(x)$展开为两个余弦函数之和，通过和角公式合并为单一余弦函数形式，从而直接分析其值域和单调性。
关键点：
- 第（1）问需注意$\varphi$的范围限制；
- 第（2）问需灵活运用三角恒等式化简表达式，简化分析过程。
第（1）问：求$\varphi$
代入已知条件
由$f(0)=\cos(\varphi)=\frac{1}{2}$，结合$0 \leq \varphi < \pi$，得$\varphi=\frac{\pi}{3}$（唯一解）。
第（2）问：求$g(x)$的值域和单调区间
化简$g(x)$
将$f(x)=\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$代入$g(x)$：
$g(x) = \cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right) + \cos\left(2x\right)$
应用和角公式
利用$\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$，得：
$g(x) = 2\cos\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\cos\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$
分析值域
$\cos\left(2x+\frac{\pi}{6}\right) \in [-1,1]$，故$g(x) \in [-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$。
分析单调区间
令$\theta = 2x+\frac{\pi}{6}$，则$g(x) = \sqrt{3}\cos\theta$。
- 递减区间：$\theta \in [2k\pi, 2k\pi+\pi]$，对应$x \in \left[k\pi-\frac{\pi}{12}, k\pi+\frac{5\pi}{12}\right]$；
- 递增区间：$\theta \in [2k\pi+\pi, 2k\pi+2\pi]$，对应$x \in \left[k\pi+\frac{5\pi}{12}, k\pi+\frac{11\pi}{12}\right]$。