题目

【计算题】袋中装有大小相同的白球3只，黑球若干只，放回式地摸球3次，若至少摸到2只白球的概率为(7)/(27)，求袋中黑球的个数。

【计算题】袋中装有大小相同的白球3只，黑球若干只，放回式地摸球3次，若至少摸到2只白球的概率为$\frac{7}{27}$，求袋中黑球的个数。

题目解答

答案

设袋中黑球个数为 $ n $，则总球数为 $ 3 + n $。每次摸到白球的概率为 $ p = \frac{3}{3+n} $。 3次摸球中至少摸到2只白球的概率为： \[ P(\text{至少2白}) = P_3(2) + P_3(3) = \binom{3}{2} p^2 (1-p) + \binom{3}{3} p^3 = 3p^2(1-p) + p^3 \] 已知该概率为 $\frac{7}{27}$，则： \[ 3p^2(1-p) + p^3 = \frac{7}{27} \] 解得 $ p = \frac{1}{3} $。 由 $ p = \frac{3}{3+n} = \frac{1}{3} $，解得 $ n = 6 $。 **答案：** $\boxed{6}$

解析

考查要点：本题主要考查独立重复试验（二项分布）的应用，以及解方程的能力。关键在于理解“至少摸到2只白球”的概率构成，并正确建立方程求解。

解题思路：

  1. 确定概率模型：放回摸球属于独立重复试验，每次摸到白球的概率固定。
  2. 分类讨论：“至少2只白球”包含恰好2只和恰好3只两种情况，分别计算概率后相加。
  3. 建立方程：根据题目给出的概率值，列出方程并求解。
  4. 验证解的合理性：确保解符合实际意义（如黑球数量为非负整数）。

设袋中黑球个数为 $n$，则总球数为 $3 + n$，每次摸到白球的概率为 $p = \frac{3}{3+n}$。

至少摸到2只白球的概率由以下两部分组成：

  1. 恰好摸到2只白球：
    $\binom{3}{2} p^2 (1-p) = 3p^2(1-p)$
  2. 恰好摸到3只白球：
    $\binom{3}{3} p^3 = p^3$

根据题意，总概率为 $\frac{7}{27}$，因此方程为：
$3p^2(1-p) + p^3 = \frac{7}{27}$

解方程：

  1. 展开并整理方程：
    $3p^2 - 3p^3 + p^3 = 3p^2 - 2p^3 = \frac{7}{27}$
  2. 代入 $p = \frac{1}{3}$ 验证：
    $3\left(\frac{1}{3}\right)^2 \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{7}{27}$
    计算结果符合，故 $p = \frac{1}{3}$。
  3. 由 $p = \frac{3}{3+n} = \frac{1}{3}$，解得：
    $3 + n = 9 \quad \Rightarrow \quad n = 6$