求下列差分方程所描述的离散系统的单位序列响应。(1) y(k) + 2y(k-1) = f(k-1)(2) y(k) - y(k-2) = f(k)(3) y(k) + y(k-1) + (1)/(4)y(k-2) = f(k)(4) y(k) + 4y(k-2) = f(k)(5) y(k) - 4y(k-1) + 8y(k-2) = f(k)

本题考查离散系统单位序列响应的求解，解题思路是先将差分方程转化为对应的特征方程，求出特征根，再根据特征根的情况写出单位序列响应的表达式。

（1）对于差分方程 $y(k) + 2y(k - 1) = f(k - 1)$

• 首先将其转化为特征方程，令 $y(k)=0$，则特征方程为 $1 + 2z = 0$。
• 求解特征根，由 $1 + 2z = 0$，可得 $z=-2$。
• 因为 $y(k) + 2y(k - 1) = f(k - 1)$，所以单位序列响应 $h(k)$ 满足 $h(k)=(-2)^{k - 1}u(k - 1)$。

（2）对于差分方程 $y(k) - y(k - 2) = f(k)$

• 令 $y(k)=0$，得到特征方程 $1 - z^{2} = 0$。
• 求解特征根，由 $1 - z^{2} = 0$，即 $z^{2}=1$，可得 $z_{1}=1,z_{2}=-1$。
• 单位序列响应 $h(k)$ 为 $h(k)=\frac{1 + (- - 1)^{k}}{2}u(k)$。

（3）对于差分方程 $y(k) + y(k - 1) + \frac{1}{4}y(k - 2) = f(k)$

• 令 $y(k)=0$，得到特征方程 $1 + z+\frac{1}{4}z^{2}=0$。
• 求解特征根，由 $1 + z+\frac{1}{4}z^{2}=0$，即 $4 + 4z+z^{2}=0$，根据一元二次方程求根公式 $z=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，其中 $a = 1,b = 4,c = 4$，可得 $z=\frac{-4\pm\sqrt{4^{2}-4\times1\times4}}{2\times1}=\frac{-4\pm\sqrt{16 - 16}}{2}=-2$（二重根）。
• 单位序列响应 $h(k)=(1 + k)\left(-\frac{1}{2}\right)^{k}uu(k)$。

（4）对于差分方程 $y(k) + 4y(k - 2) = f(k)$

• 令 $y(k)=0$，得到特征方程 $1 + 4z^{2} = 0$。
• 求解特征根，由 $1 + 4z^{2} = 0$，即 $z^{2}=-\frac{1}{4}$，可得 $z_{1}=\frac{1}{2}j,z_{2}=-\frac{1}{2}j$。
• 单位序列响应 $h(k)=(2)^{k}\cos\left(\frac{k\pi}{2}\right)u(k)$。

（5）对于差分方程 $y(k) - 4y(k - 1) + 8y(k - 2) = f(k)$

• 令 $y(k)=0$，得到特征方程 $1 - 4z + 8z^{2} = 0$。
• 求解特征根，由 $1 - 4z + 8z^{2} = 0$，根据一元二次方程求根公式 $z=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，其中 $a = 8,b = -4,c = 1$，可得 $z=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^{2}-4\times8\times1}}{2\times8}=\frac{4\pm\sqrt{16 - 32}}{16}=\frac{4\pm\sqrt{-16}}{16}=\frac{4\pm4j}{16}=\frac{1}{4}\pm\frac{1}{4}j$。
• 单位序列响应 $h(k)=(2\sqrt{2})^{k}\left(\cos\left(\frac{k\pi}{4}\right)+\sin\left(\frac{k\pi}{4}\right)\right)u(k)$。