题目
计算下列行列式：（1） b-|||-b 0 0 a-|||-0 b a 0；（2） b-|||-b 0 0 a-|||-0 b a 0；（3） b-|||-b 0 0 a-|||-0 b a 0.
计算下列行列式：
（1）
；
（2）
；
（3）
.
题目解答
答案
（1）
用第一行的代数余子式计算可得：
；
用第二列的代数余子式计算两个行列式可得：
；
（2）
用第一行的代数余子式计算可得：
用第三行的代数余子式计算可得：
（3）
用第四行的代数余子式计算可得：
将第一行的-3倍加到第二行，第三行的-1倍加到第四行可得：
用第二行的代数余子式计算可得：
用第一行的代数余子式计算可得：
.
解析
步骤 1：计算行列式（1）
用第一行的代数余子式计算可得：
$D_1 = \begin{vmatrix} a & b \\ b & a \end{vmatrix} = a \cdot a - b \cdot b = a^2 - b^2$；
步骤 2：计算行列式（2）
用第一行的代数余子式计算可得：
$D_2 = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_4 & b_4 \end{vmatrix} = a_1 \cdot b_4 - b_1 \cdot a_4$；
步骤 3：计算行列式（3）
用第四行的代数余子式计算可得：
$D_3 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{vmatrix}$，
将第一行的-3倍加到第二行，第三行的-1倍加到第四行可得：
$D_3 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 0 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & 0 & -4 \end{vmatrix}$，
用第二行的代数余子式计算可得：
$D_3 = 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -4 \end{vmatrix} = 2 \cdot 0 = 0$；
用第一行的代数余子式计算可得：
$D_1 = \begin{vmatrix} a & b \\ b & a \end{vmatrix} = a \cdot a - b \cdot b = a^2 - b^2$；
步骤 2：计算行列式（2）
用第一行的代数余子式计算可得：
$D_2 = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_4 & b_4 \end{vmatrix} = a_1 \cdot b_4 - b_1 \cdot a_4$；
步骤 3：计算行列式（3）
用第四行的代数余子式计算可得：
$D_3 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{vmatrix}$，
将第一行的-3倍加到第二行，第三行的-1倍加到第四行可得：
$D_3 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 0 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & 0 & -4 \end{vmatrix}$，
用第二行的代数余子式计算可得：
$D_3 = 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -4 \end{vmatrix} = 2 \cdot 0 = 0$；