在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1，则overrightarrow(PA)•overrightarrow(PB)的取值范围是（　　） A. [-5，3] B. [-3，5] C. [-6，4] D. [-4，6]

考查要点：本题主要考查向量的坐标运算、点积的计算，以及利用三角函数或参数方程求解函数的取值范围。

解题核心思路：

1. 建立坐标系：以直角顶点C为原点，构建平面直角坐标系，将几何问题代数化。
2. 表示动点P的坐标：利用圆的方程约束条件PC=1，设P点坐标为$(x,y)$，满足$x^2 + y^2 = 1$。
3. 向量表达与点积计算：通过坐标差表示向量$\overrightarrow{PA}$和$\overrightarrow{PB}$，计算它们的点积。
4. 化简表达式：利用圆的方程$x^2 + y^2 = 1$简化点积表达式，转化为关于$x$和$y$的线性组合。
5. 三角函数参数化：将$x$和$y$用三角函数表示，结合三角恒等式求取值范围。

破题关键点：

• 坐标系的选择：以C为原点，简化坐标计算。
• 点积表达式的化简：利用圆的方程消去二次项，转化为线性表达式。
• 三角函数的合成：将线性组合转化为单一三角函数形式，快速确定极值。

坐标系与点坐标

以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，建立平面直角坐标系：

• $A(3,0)$，$B(0,4)$，$C(0,0)$。
• 动点P满足$PC=1$，故P的坐标$(x,y)$满足$x^2 + y^2 = 1$。

向量表达与点积计算

• $\overrightarrow{PA} = (3 - x, -y)$，$\overrightarrow{PB} = (-x, 4 - y)$。
• 点积计算：
  $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = (3 - x)(-x) + (-y)(4 - y) = -3x + x^2 -4y + y^2.$

化简表达式

利用$x^2 + y^2 = 1$，代入得：
$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = 1 - 3x - 4y.$

三角函数参数化

设$x = \cos\theta$，$y = \sin\theta$，则表达式变为：
$1 - 3\cos\theta - 4\sin\theta.$
将$3\cos\theta + 4\sin\theta$合成三角函数：
$3\cos\theta + 4\sin\theta = 5\sin(\theta + \phi) \quad (\tan\phi = \frac{3}{4}).$
因此，点积表达式为：
$1 - 5\sin(\theta + \phi).$

取值范围

$\sin(\theta + \phi)$的取值范围为$[-1, 1]$，故：

• 当$\sin(\theta + \phi) = 1$时，最小值为$1 - 5 = -4$；
• 当$\sin(\theta + \phi) = -1$时，最大值为$1 + 5 = 6$。

综上，$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}$的取值范围是$[-4, 6]$。