题目

4.a_(12)a_(2i)a_(35)a_(4j)a_(5k)是五阶行列式|a_(ij)|(i,j=1,2,...,5)中前面冠以负号的项，那么i,j,k的值可以是（）.A. i=1,j=4,k=3B. i=4,j=1,k=3C. i=3,j=1,k=4D. i=4,j=3,k=1

4.$a_{12}a_{2i}a_{35}a_{4j}a_{5k}$是五阶行列式$|a_{ij}|(i,j=1,2,\cdots,5)$中前面冠以负号的项，那么i,j,k的值可以是（）.

A. i=1,j=4,k=3

B. i=4,j=1,k=3

C. i=3,j=1,k=4

D. i=4,j=3,k=1

题目解答

答案

B. i=4,j=1,k=3

解析

本题考查行列式展开项的符号判断，核心在于确定排列的逆序数。
关键点：

  1. 行列式展开项的符号由对应排列的逆序数决定：逆序数为偶数时符号为正，奇数时为负。
  2. 题目中项的列指标排列为 $(2, i, 5, j, k)$，需根据选项代入后计算逆序数，判断是否为奇排列。

选项分析

选项A：$i=1, j=4, k=3$

排列为 $(2, 1, 5, 4, 3)$

  • 逆序数计算：
    • $2$ 后有 $1$（1个逆序）
    • $1$ 后无逆序
    • $5$ 后有 $4, 3$（2个逆序）
    • $4$ 后有 $3$（1个逆序）
    • $3$ 后无逆序
      总逆序数 $= 1 + 2 + 1 = 4$（偶排列），符号为正，不符合题意。

选项B：$i=4, j=1, k=3$

排列为 $(2, 4, 5, 1, 3)$

  • 逆序数计算：
    • $2$ 后有 $1$（1个逆序）
    • $4$ 后有 $1, 3$（2个逆序）
    • $5$ 后有 $1, 3$（2个逆序）
    • $1$ 后无逆序
    • $3$ 后无逆序
      总逆序数 $= 1 + 2 + 2 = 5$（奇排列），符号为负，符合题意。

选项C：$i=3, j=1, k=4$

排列为 $(2, 3, 5, 1, 4)$

  • 逆序数计算：
    • $2$ 后有 $1$（1个逆序）
    • $3$ 后有 $1$（1个逆序）
    • $5$ 后有 $1, 4$（2个逆序）
    • $1$ 后无逆序
    • $4$ 后无逆序
      总逆序数 $= 1 + 1 + 2 = 4$（偶排列），符号为正，不符合题意。

选项D：$i=4, j=3, k=1$

排列为 $(2, 4, 5, 3, 1)$

  • 逆序数计算：
    • $2$ 后有 $1$（1个逆序）
    • $4$ 后有 $3, 1$（2个逆序）
    • $5$ 后有 $3, 1$（2个逆序）
    • $3$ 后有 $1$（1个逆序）
    • $1$ 后无逆序
      总逆序数 $= 1 + 2 + 2 + 1 = 6$（偶排列），符号为正，不符合题意。